Формула Тейлора: остаточный член в формах Лагранжа, Коши, Пеано и в интегральной форме

Многочлен Тейлора функции \(f\) в точке \(a\) имеет вид

\[T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)(x-a)^{k}}{k!}\],

а \(f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\). Остаток можно описывать разными способами. В форме Пеано \(R_{n}=o((x-a)^{n})\) при \(x\to a\). В форме Лагранжа \(R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\). В форме Коши \(R_{n}=\frac{f^{(n+1)}(\xi )(x-\xi )^{n}(x-a)}{n!}\). При достаточной непрерывной дифференцируемости интегральная форма равна \(R_{n}=(\frac{1}{n!})\int _{a}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n} dt\).1, 2

Что важно запомнить
  • Формула Тейлора состоит из многочлена \(T_{n}\) и остаточного члена \(R_{n}\).
  • Форма Пеано описывает локальный порядок малости остатка и удобна для асимптотик.
  • Форма Лагранжа содержит \(f^{(n+1)}\) в промежуточной точке и удобна для оценки погрешности.
  • Форма Коши также использует промежуточную точку, но имеет другой множитель при \(f^{(n+1)}\).
  • Интегральная форма выражает остаток через интеграл от производной порядка \(n+1\).
  • У разных форм остатка различаются предпосылки и задачи применения.

Многочлен Тейлора

В окрестности точки \(a\) функцию приближают многочленом

\[T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)(x-a)^{k}}{k!}\].

Разность

\[R_{n}(x)=f(x)-T_{n}(x)\]

называется остаточным членом.1

Остаток в форме Пеано

Если функция имеет в точке \(a\) производные до порядка \(n\) включительно, то

\[f(x)=T_{n}(x)+o((x-a)^{n}), x\to a\].1

Эта форма показывает локальный порядок малости остатка, но сама по себе не даёт явной численной оценки вдали от точки \(a\).

Формы Лагранжа и Коши

Пусть \(f\) имеет на отрезке между \(a\) и \(x\) непрерывные производные до порядка \(n\) включительно и производную порядка \(n+1\) во внутренних точках. Тогда для некоторой точки \(\xi \) между \(a\) и \(x\) можно записать остаток в форме Лагранжа

\[R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\],

а также в форме Коши

\[R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )(x-\xi )^{n}(x-a)}{n!}\].1

Форма Лагранжа особенно удобна для оценки погрешности, если известна верхняя граница \(|f^{(n+1)}|\).

Интегральная форма

Если \(f\) непрерывно дифференцируема \(n+1\) раз на отрезке между \(a\) и \(x\), повторное интегрирование по частям даёт

\[R_{n}(x)=\frac{1}{n!} \int _{a}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n} dt\].2

Эта запись полезна, когда свойства остатка удобнее получать из свойств интеграла.

Почему формы не следует смешивать

Все записи описывают одну и ту же разность \(f-T_{n}\), но делают это при разных предпосылках и для разных задач. Пеано отвечает прежде всего на вопрос о локальном порядке остатка. Лагранж и Коши дают значение через промежуточную точку. Интегральная форма выражает остаток через значения производной порядка \(n+1\) на всём промежутке.

Пример простыми словами

Для \(f(x)=e^{x}\) около \(a=0\) при \(n=2\) имеем \(e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+R_{2}(x)\). По форме Лагранжа \(R_{2}(x)=\frac{e^{\xi }x^{3}}{6}\) для некоторого \(\xi \) между \(0\) и \(x\). Поэтому при \(|x|\le 0{,}1\) выполняется \(|R_{2}(x)|\le \frac{e^{0{,}1}|x|^{3}}{6}\). Так формула Лагранжа даёт явную оценку ошибки квадратичного приближения.

Частые ошибки
  • Смешение конечной формулы Тейлора с бесконечным рядом Тейлора.
  • Использование остатка Пеано как готовой глобальной численной оценки погрешности.
  • Путаница между факториалами \(n!\) и \((n+1)!\) в формах Коши и Лагранжа.
  • Представление промежуточной точки \(\xi \) как заранее известной или общей для разных форм остатка.
  • Интегральная форма без достаточной гладкости функции на всём промежутке.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 41–44
  2. 2 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 51