При \(x\to 0\) используют стандартные разложения Маклорена. Для экспоненты \(e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots \), для синуса \(\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\ldots \), а для косинуса \(\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\ldots \). Также \(\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots \) и \((1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2!}+\ldots \). В конечной формуле Тейлора после выбранного числа членов остаётся остаток. Для асимптотики его удобно записывать в форме Пеано, а для численной оценки — в форме Лагранжа. Поэтому разложения позволяют получать контролируемые приближения значений элементарных
Что важно запомнить
- Разложения применяют около точки, относительно которой построена формула Тейлора. Для формул ниже это \(x=0\).
- \(e^{x}=\sum _{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+o(x^{n})\).
- \(\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\ldots +\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+o(x^{n})\) при \(x\to 0\).
- \((1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2!}+\ldots +\alpha (\alpha -1)\ldots \frac{(\alpha -n+1)x^{n}}{n!}+o(x^{n})\).
- Для \(\sin x\) остаются нечётные степени, для \(\cos x\) — чётные.
- Для численного приближения ряд обрывают после нескольких членов и контролируют остаток.
Разложения Маклорена
Формула Маклорена является формулой Тейлора в точке \(0\). Если функция достаточно гладкая, то около нуля её можно заменить многочленом, коэффициенты которого определяются производными в
Для показательной функции при \(x\to 0\):
\[e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}+o(x^{n})\].
Для тригонометрических функций:
\[\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\ldots \]
\[\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\ldots \]
При конечном числе членов после последней сохранённой степени добавляют соответствующий остаточный член.
Для логарифма и степенной функции:
\[\ln (1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\ldots +\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n}+o(x^{n})\],
\[(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2!}+\ldots +\alpha (\alpha -1)\ldots \frac{(\alpha -n+1)x^{n}}{n!}+o(x^{n})\].
Как использовать разложения
Для приближённого вычисления выбирают удобную точку, приводят аргумент к малому приращению и оставляют столько членов, сколько нужно для требуемой точности. Например, вместо прямого вычисления сложного значения используют короткий многочлен.
Если нужна строгая оценка погрешности, применяют остаток в форме Лагранжа. Если задача асимптотическая, обычно достаточно формы Пеано. Важно не смешивать конечную формулу Тейлора с бесконечным рядом. Равенство функции сумме бесконечного ряда требует отдельного
Пример простыми словами
Оценим \(\sqrt{1{,}04}\). Пишем \(\sqrt{1{,}04}=(1+0{,}04)^{\frac{1}{2}}\). Для \(\alpha =\frac{1}{2}\) получаем \((1+x)^{\frac{1}{2}}\approx 1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}\). При \(x=0{,}04\) это даёт \(1+0{,}02-0{,}0002=1{,}0198\). Точное значение приблизительно \(1{,}019804\), поэтому уже три члена дают хорошую точность.
Частые ошибки
- Потеря точки разложения, относительно которой применяется формула Тейлора.
- Игнорирование области определения \(\ln (1+x)\) и \((1+x)^{\alpha }\).
- Представление конечного многочлена Тейлора как точного равенства без остатка.
- Интерпретация \(o(x^{n})\) как фиксированного численного значения погрешности.
- Автоматическое отождествление функции с её бесконечным рядом Тейлора без проверки сходимости к исходной функции.
