Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями: \(e^{ix}=\cos x+i \sin x\). Отсюда \(\cos x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\) и \(\sin x=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})}{(2i)}\). Гиперболические функции выражаются через вещественные экспоненты: \(\cosh x=\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2}, \sinh x=\frac{(e^{x}-e^{-x})}{2}\). Поэтому \(\cos (ix)=\cosh x\) и
Что важно запомнить
- \(e^{ix}=\cos x+i \sin x\).
- \(e^{-ix}=\cos x-i \sin x\).
- \(\cos x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}, \sin x=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})}{(2i)}\).
- \(\cosh x=\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2}, \sinh x=\frac{(e^{x}-e^{-x})}{2}\).
- \(\cos (ix)=\cosh x, \sin (ix)=i \sinh x\).
- При \(x=\pi \) получается тождество \(e^{i\pi }+1=0\).
Формула Эйлера
Комплексную экспоненту можно определить тем же степенным рядом, что и вещественную:
\[e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{z^{n}}{n!}\].
Подставим \(z=ix\) и разделим ряд на чётные и нечётные степени:
\[e^{ix}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}+i\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{(2k+1)!}\].
Первая сумма равна \(\cos x\), вторая без множителя \(i\) — \(\sin x\). Поэтому
Заменяя \(x\) на \(-x\), имеем \(e^{-ix}=\cos x-i \sin x\). Складывая и вычитая эти равенства, получаем
\[\cos x=\frac{(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\],
\[\sin x=\frac{(e^{ix}-e^{-ix})}{(2i)}\].
Связь с гиперболическими функциями
По определению
\[\cosh x=\frac{(e^{x}+e^{-x})}{2}, \sinh x=\frac{(e^{x}-e^{-x})}{2}\].
Сравнение этих формул с выражениями для \(\sin \) и \(\cos \) даёт
\[\cos (ix)=\cosh x, \sin (ix)=i \sinh x\],
а также \(\cosh (ix)=\cos x\) и \(\sinh (ix)=i \sin x\).
Таким образом, экспоненциальные, тригонометрические и гиперболические функции являются разными проявлениями одной и той же структуры комплексной
Пример простыми словами
Подставим \(x=\pi \). Так как \(\cos \pi =-1\) и \(\sin \pi =0\), формула Эйлера даёт \(e^{i\pi }=-1\). Отсюда \(e^{i\pi }+1=0\). Это равенство одновременно связывает числа \(e, i, \pi , 1\) и \(0\).
Частые ошибки
- Потеря множителя \(i\) в формуле \(e^{ix}=\cos x+i \sin x\).
- Смешение формул для тригонометрических и гиперболических функций.
- Ошибка в знаках чётных степеней из-за неверного использования \(i^{2}=-1\).
- Представление \(e^{ix}\) как вещественного числа при произвольном \(x\).
- Смешение формулы Эйлера с формулой Эйлера—Маклорена.
