Вектор-функция одной переменной имеет вид \(r:I\to \mathbb{R}^{m}, r(t)=(r_{1}(t),\ldots ,r_{m}(t))\). Предел и непрерывность определяются по норме и эквивалентны покомпонентным пределам и непрерывности. Если все компоненты дифференцируемы, то \(r'(t)=(r_{1}'(t),\ldots ,r_{m}'(t))\). Для достаточно гладкой \(r\) справедлива локальная формула Тейлора \(r(t_{0}+h)=\sum _{k=0}^{n} \frac{r^{(k)}(t_{0})h^{k}}{k!}+o(h^{n})\). Важно, что обычный остаток Лагранжа с одной общей промежуточной точкой для вектор-функции в общем случае
Что важно запомнить
- \(r(t)=(r_{1}(t),\ldots ,r_{m}(t))\) рассматривается как отображение из интервала в \(\mathbb{R}^{m}\).
- \(r(t)\to a\) тогда и только тогда, когда каждая компонента \(r_{j}(t)\to a_{j}\).
- Непрерывность вектор-функции равносильна непрерывности всех компонент.
- \(r'(t)\) вычисляется покомпонентно.
- Дифференцируемость даёт \(r(t+h)=r(t)+r'(t)h+o(h)\) в норме.
- Локальная формула Тейлора с остатком Пеано переносится на вектор-функции.
- Формула Лагранжа с одним и тем же \(\xi \) для всего вектора в общем случае не работает.
Предел и непрерывность
Пусть \(r:I\to \mathbb{R}^{m}\) и \(r(t)=(r_{1}(t),\ldots ,r_{m}(t))\). Предел \(r(t)\to a\) при \(t\to t_{0}\) означает
\[\lVert r(t)-a\rVert \to 0\].
В конечномерном пространстве это равносильно условиям \(r_{j}(t)\to a_{j}\) для всех \(j\). Поэтому \(r\) непрерывна в \(t_{0}\) тогда и только тогда, когда все её координатные функции непрерывны в этой
Дифференцируемость
Производная определяется пределом
\[r'(t_{0})=\lim _{h\to 0}\frac{[r(t_{0}+h)-r(t_{0})]}{h}\].
Она существует тогда и только тогда, когда существуют производные всех компонент. В этом случае
\[r'(t_{0})=(r_{1}'(t_{0}),\ldots ,r_{m}'(t_{0}))\]
и
\[r(t_{0}+h)=r(t_{0})+r'(t_{0})h+o(h)\],
где \(\frac{\lVert o(h)\rVert }{|h|}\to 0\).
Формула Тейлора
Если вектор-функция достаточно гладкая, то покомпонентное применение локальной формулы Тейлора даёт
Для вектор-функции нельзя без дополнительного обоснования писать остаток Лагранжа в виде \(\frac{r^{(n+1)}(\xi )h^{n+1}}{(n+1)!}\) с одной общей точкой \(\xi \). У разных компонент промежуточные точки могут быть разными. Именно поэтому локальная форма с \(o(h^{n})\) является безопасной и естественной.
Пример простыми словами
Для \(r(t)=(\cos t,\sin t)\) имеем \(r'(t)=(-\sin t,\cos t)\) и \(r''(t)=(-\cos t,-\sin t)=-r(t)\). Около \(t=0\) получаем \(r(h)=(1,0)+(0,1)h+\frac{(-1,0)h^{2}}{2}+o(h^{2})\), что согласуется с обычными разложениями \(\cos h\) и \(\sin h\).
Частые ошибки
- Подмена сходимости по норме одной скалярной проверкой без контроля компонент.
- Проверка производной только одной координаты вектор-функции.
- Скалярная трактовка \(o(h)\) вместо условия \(\frac{\lVert o(h)\rVert }{|h|}\to 0\).
- Механический перенос скалярного остатка Лагранжа с одной общей точкой \(\xi \) на весь вектор.
- Смешение вектор-функции одной переменной с функцией нескольких независимых переменных.
