Функция \(f\) не убывает на интервале, если \(x_{1}\lt x_{2}\) влечёт \(f(x_{1})\le f(x_{2})\), и строго возрастает, если всегда \(f(x_{1})\lt f(x_{2})\). Для дифференцируемой функции на интервале условие \(f'(x)\ge 0\) эквивалентно неубыванию, а \(f'(x)\le 0\) — невозрастанию. Условие \(f'(x)\gt 0\) достаточно для строгого возрастания, но не необходимо. Например, \(x^{3}\) строго возрастает, хотя
Что важно запомнить
- Монотонность сравнивает значения функции в любых двух точках интервала.
- \(f'\ge 0\) на интервале \(\Rightarrow f\) не убывает.
- \(f'\le 0\) на интервале \(\Rightarrow f\) не возрастает.
- Если дифференцируемая функция не убывает, то \(f'\ge 0\) во всех точках интервала.
- \(f'\gt 0 \Rightarrow \) функция строго возрастает, \(f'\lt 0 \Rightarrow \) строго убывает.
- Нулевое значение производной в отдельной точке не мешает строгой монотонности.
- Основной инструмент доказательства критериев — теорема Лагранжа.
Определения
Функция \(f\) называется неубывающей на интервале \(I\), если для любых \(x_{1}\lt x_{2}\) из \(I\) выполняется \(f(x_{1})\le f(x_{2})\). Для строго возрастающей функции требуется \(f(x_{1})\lt f(x_{2})\). Невозрастание и строгое убывание определяются аналогично с обратными знаками.
Критерий через производную
Пусть \(f\) дифференцируема на интервале \(I\). Если \(f'(x)\ge 0\) для всех \(x\in I\), то \(f\) не убывает. Действительно, для \(x_{1}\lt x_{2}\) по теореме Лагранжа существует \(c\in (x_{1},x_{2})\), для которого
\[f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1})\].
Поскольку \(x_{2}-x_{1}\gt 0\) и \(f'(c)\ge 0\), правая часть неотрицательна. Следовательно, \(f(x_{2})\ge f(x_{1})\).
При \(f'\le 0\) получаем
Верно и обратное утверждение. Если дифференцируемая функция не убывает, то её разностные отношения справа и слева имеют знаки, которые после перехода к пределу дают \(f'(x)\ge 0\).
Строгая монотонность
Условие \(f'(x)\gt 0\) на всём интервале достаточно для строгого возрастания. Однако оно не необходимо. Строго возрастающая функция может иметь нулевую производную в отдельных точках. Более точный достаточный вариант таков: если \(f'\ge 0\) и функция не постоянна ни на одном невырожденном подинтервале, то \(f\) строго возрастает.
Пример простыми словами
Функция \(f(x)=x^{3}\) строго возрастает на всей \(\mathbb{R}\). Её производная \(f'(x)=3x^{2}\ge 0\), но \(f'(0)=0\). Этот пример показывает, почему условие \(f'\gt 0\) является достаточным, но не необходимым для строгого возрастания.
Частые ошибки
- Вывод о монотонности по знаку производной только в одной точке.
- Отождествление условия \(f'\ge 0\) со строгим возрастанием. Оно гарантирует лишь неубывание.
- Представление равенства \(f'(a)=0\) как препятствия для строгой монотонности.
- Применение интервального критерия сразу к нескольким несвязанным промежуткам.
- Использование критерия через производную без дифференцируемости на рассматриваемом интервале.
