Точка \(a\) является точкой локального максимума, если \(f(x)\le f(a)\) для всех достаточно близких \(x\), и локального минимума, если \(f(x)\ge f(a)\). Если \(a\) — внутренняя точка, \(f\) дифференцируема в \(a\) и там есть локальный экстремум, то по теореме Ферма \(f'(a)=0\). Для достаточного признака исследуют смену знака \(f'\): переход \(+\to -\) даёт максимум, \(-\to +\) даёт минимум. Если \(f'(a)=0\) и \(f''(a)\gt 0\), то \(a\) — строгий локальный минимум, а при \(f''(a)\lt 0\) — строгий локальный
Что важно запомнить
- Локальный экстремум сравнивает \(f(a)\) только со значениями в некоторой окрестности \(a\).
- Для внутреннего дифференцируемого экстремума необходимо \(f'(a)=0\).
- Кандидатами являются также точки, где производная не существует, если сама функция определена.
- Смена знака \(f'\) с + на \(-\) даёт максимум, с \(-\) на + — минимум.
- При \(f'(a)=0\) знак \(f''(a)\) даёт удобный достаточный критерий, если \(f''(a)\ne 0\).
- Если \(f''(a)=0\), вывод по второму производному тесту невозможен.
- Первый ненулевой производный член более высокого порядка позволяет уточнить характер точки.
Определение и необходимое условие
Точка \(a\) является точкой локального максимума, если существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(f(x)\le f(a)\) при \(|x-a|\lt \delta \). Для локального минимума знак неравенства меняется на противоположный.
Если \(a\) является внутренней точкой области, \(f\) дифференцируема в \(a\) и имеет там локальный экстремум, то \(f'(a)=0\). Это необходимое условие Ферма. Оно не является
Признак по первой производной
Пусть \(f\) непрерывна в \(a\) и дифференцируема по обе стороны от \(a\). Если при переходе через \(a\) производная меняет знак с положительного на отрицательный, то в \(a\) локальный максимум. Если знак меняется с отрицательного на положительный, то в \(a\) локальный минимум. Если знак не меняется, экстремума по этому признаку нет.
Признак по второй и высшим производным
Если \(f'(a)=0\) и существует \(f''(a)\), причём \(f''(a)\gt 0\), то \(a\) является точкой строгого локального минимума. При \(f''(a)\lt 0\) получаем строгий локальный максимум. Если \(f''(a)=0\), тест ничего не решает.
Более общий критерий используют при условиях, обеспечивающих локальную формулу Тейлора. Пусть \(f'(a)=\ldots =f^{(m-1)}(a)=0\), а \(f^{(m)}(a)\ne 0\). Тогда
\[f(x)=f(a)+\frac{f^{(m)}(a)(x-a)^{m}}{m!}+o((x-a)^{m})\].
Если \(m\) чётно, знак первого ненулевого члена не меняется при переходе через \(a\). Поэтому при \(f^{(m)}(a)\gt 0\) имеется строгий локальный минимум, а при \(f^{(m)}(a)\lt 0\) — строгий локальный максимум. Если \(m\) нечётно, главный член меняет знак и локального экстремума
Пример простыми словами
У \(f(x)=x^{4}\) в точке \(0\) имеем \(f'(0)=0\) и \(f''(0)=0\), но \(0\) всё равно является строгим минимумом. Первый ненулевой производный член имеет порядок \(4\) и положительный коэффициент. У \(g(x)=x^{3}\) тоже \(g'(0)=0\), однако экстремума нет, потому что первый ненулевой порядок равен \(3\).
Частые ошибки
- Использование условия \(f'(a)=0\) как достаточного признака экстремума.
- Поиск экстремумов только среди стационарных точек с пропуском точек недифференцируемости.
- Вывод об отсутствии экстремума только из равенства \(f''(a)=0\).
- Смешение локального экстремума с наибольшим или наименьшим значением на всей области.
- Применение теоремы Ферма к граничной точке как к внутренней.
