Если \(f\) непрерывна на отрезке \([a,b]\), то по теореме Вейерштрасса она достигает на нём абсолютного минимума и максимума. В типичной задаче, где внутри отрезка функция дифференцируема за исключением конечного числа точек, проверяют концы \(a\) и \(b\), все внутренние точки \(f'(x)=0\) и точки недифференцируемости, в которых \(f\) определена. Наибольшее из вычисленных значений является абсолютным максимумом, а наименьшее — абсолютным
Что важно запомнить
- Непрерывная функция на \([a,b]\) обязательно достигает \(\min \) и \(\max \).
- Концы \(a\) и \(b\) всегда входят в список кандидатов.
- Внутри отрезка проверяют точки \(f'=0\).
- Проверяют также точки, где \(f\) определена, но производная не существует.
- Значения функции в кандидатах нужно именно сравнить, а не только найти критические точки.
- Абсолютный максимум или минимум может достигаться в нескольких точках.
- Без непрерывности на отрезке достижение крайних значений не гарантировано.
Существование абсолютных экстремумов
Абсолютный максимум функции на \([a,b]\) — это значение \(M=f(x_{M})\), для которого \(f(x)\le M\) при всех \(x\in [a,b]\). Абсолютный минимум определяется аналогично.
Если \(f\) непрерывна на замкнутом отрезке, теорема Вейерштрасса гарантирует существование обеих
Стандартный алгоритм
Если функция дифференцируема на \((a,b)\) за исключением конечного набора особых точек, действуют так:
\(1\). Находят внутренние точки, где \(f'(x)=0\).
\(2\). Добавляют внутренние точки, где \(f\) определена, но производная не существует.
\(3\). Добавляют концы \(a\) и \(b\).
\(4\). Вычисляют \(f\) во всех кандидатах и сравнивают значения.
Наибольшее значение даёт абсолютный максимум, наименьшее — абсолютный минимум.
Почему этого достаточно: внутренний абсолютный экстремум в точке дифференцируемости подчиняется теореме Ферма, поэтому производная там должна быть равна нулю. Остальные варианты остаются на границе или в точках
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x^{3}-3x\) на \([-2,2]\) имеем \(f'(x)=3(x^{2}-1)\), поэтому внутренние стационарные точки равны \(-1\) и \(1\). Проверяем \(x=-2,-1,1,2\): значения равны \(-2, 2, -2, 2\). Следовательно, абсолютный максимум равен \(2\) и достигается при \(x=-1\) и \(x=2\), а абсолютный минимум равен \(-2\) и достигается при \(x=-2\) и \(x=1\).
Дополнительно, для \(f(x)=|x|\) на \([-1,1]\) точка \(x=0\) тоже входит в список кандидатов, хотя производная там не существует. Именно в \(x=0\) достигается абсолютный минимум \(0\).
Частые ошибки
- Проверка только стационарных точек с пропуском концов отрезка.
- Пропуск внутренних точек, где функция определена, но производная не существует.
- Объявление стационарной точки абсолютным экстремумом без сравнения значений функции во всех кандидатах.
- Предположение о единственности точки достижения максимума или минимума.
- Применение теоремы Вейерштрасса к открытому интервалу как к замкнутому отрезку.
