Функция \(f\) выпукла на интервале, если \(f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\) для \(x,y\) из интервала и \(\lambda \in [0,1]\). Геометрически график лежит не выше хорды. Для вогнутой функции неравенство обратное. Если \(f\) дважды дифференцируема, то \(f''\ge 0\) даёт выпуклость, а \(f''\le 0\) — вогнутость. Точка перегиба — точка, при переходе через которую меняется характер выпуклости. Смена знака \(f''\) является стандартным достаточным признаком. В частности, если \(f''(x_{0})=0\) и \(f'''(x_{0})\) существует и не равна нулю, то \(x_{0}\) является точкой
Что важно запомнить
- Выпуклость: \(f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\).
- Для дифференцируемой функции выпуклость равносильна неубыванию \(f'\).
- Если \(f''\ge 0\) на интервале, функция выпукла.
- Если \(f''\le 0\) на интервале, функция вогнута.
- Строгие знаки \(f''\) дают строгую выпуклость или вогнутость.
- Перегиб требует смены характера выпуклости при переходе через точку.
- Смена знака \(f''\) даёт достаточный признак перегиба.
- Если \(f''(x_{0})=0\) и \(f'''(x_{0})\ne 0\), то \(x_{0}\) является точкой перегиба при существовании третьей производной.
- Условие \(f''(a)=0\) само по себе не гарантирует перегиб.
Выпуклость и вогнутость
Функция \(f\) называется выпуклой на интервале \(I\), если для любых \(x,y\in I\) и \(\lambda \in [0,1]\)
\[f(\lambda x+(1-\lambda )y)\le \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)\].
Это означает, что участок графика между двумя точками лежит не выше соответствующей хорды. Для вогнутой функции выполняется обратное
Критерии через производные
Если \(f\) дифференцируема, то её выпуклость эквивалентна неубыванию производной \(f'\). Для выпуклой функции график также лежит не ниже каждой своей касательной:
\[f(y)\ge f(x)+f'(x)(y-x)\].
Если существует вторая производная, удобен критерий знака:
\(f''\ge 0 \Rightarrow f\) выпукла, \(f''\le 0 \Rightarrow f\) вогнута.
При строгом знаке на интервале получаем строгую выпуклость или
Точки перегиба
Точка \(x_{0}\) называется точкой перегиба, если при переходе через неё график меняет характер выпуклости. Если \(f''\) имеет разные знаки слева и справа от \(x_{0}\), то \(x_{0}\) является точкой перегиба при условии, что функция определена и непрерывна в этой точке.
Равенство \(f''(x_{0})=0\) является только условием-кандидатом, а не достаточным признаком. Например, у \(x^{4}\) в нуле \(f''(0)=0\), но знак второй производной не меняется и перегиба нет.
Полезен и более сильный локальный признак. Если \(f''(x_{0})=0\) и существует \(f'''(x_{0})\ne 0\), то из дифференцируемости \(f''\) следует, что вторая производная меняет знак при переходе через \(x_{0}\). Следовательно, \(x_{0}\) является точкой
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x^{3}\) имеем \(f''(x)=6x\). При \(x\lt 0\) вторая производная отрицательна, а при \(x\gt 0\) положительна. Значит, при переходе через \(0\) характер выпуклости меняется, и \(x=0\) является точкой перегиба.
Частые ошибки
- Выпуклость и монотонность — разные свойства. Выпуклая функция может убывать на части интервала.
- Внешний вид рисунка не заменяет аналитический критерий выпуклости.
- Равенство \(f''(a)=0\) лишь выделяет кандидата на перегиб и само по себе ничего не гарантирует.
- Точка перегиба должна принадлежать области определения функции.
- При признаке через \(f''\) требуется проверить смену её знака по разные стороны от кандидата.
