Классические неравенства Йенсена, Юнга и Гёльдера

Неравенство Йенсена для выпуклой \(f\) утверждает: \(f(\sum \lambda _{k}x_{k})\le \sum \lambda _{k}f(x_{k})\), где \(\lambda _{k}\ge 0\) и \(\sum \lambda _{k}=1\). Неравенство Юнга для \(a,b\ge 0\) и сопряжённых \(p,q\gt 1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\), имеет вид \(ab\le \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\). Из Юнга получается неравенство Гёльдера: \(\sum |a_{k}b_{k}|\le (\sum |a_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum |b_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}}\). При \(p=q=2\) Гёльдер превращается в неравенство Коши—Буняковского.^{1, 2}

Что важно запомнить

Йенсен применяется к выпуклой функции и весам \(\lambda _{k}\ge 0\) с суммой \(1\).
Для вогнутой функции знак в неравенстве Йенсена меняется.
В Юнге показатели \(p\) и \(q\) сопряжены: \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).
Юнг: \(ab\le \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\) для \(a,b\ge 0\).
Равенство в Юнге достигается при \(a^{p}=b^{q}\).
Гёльдер оценивает сумму произведений через \(p\)- и \(q\)-нормы.
При \(p=q=2\) Гёльдер даёт неравенство Коши—Буняковского.

Неравенство Йенсена

Пусть \(f\) выпукла на интервале, \(x_{1},\ldots ,x_{n}\) принадлежат этому интервалу, \(\lambda _{k}\ge 0\) и \(\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}=1\). Тогда

\[f(\lambda _{1}x_{1}+\ldots +\lambda _{n}x_{n})\le \lambda _{1}f(x_{1})+\ldots +\lambda _{n}f(x_{n})\].¹

Для строго выпуклой функции при положительных весах равенство возможно только при совпадении всех \(x_{k}\). Для вогнутой функции неравенство обращается.

Неравенство Юнга

Пусть \(a,b\ge 0, p,q\gt 1\) и

\[\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\].

Тогда

\[ab\le \frac{a^{p}}{p}+\frac{b^{q}}{q}\].²

Равенство достигается тогда и только тогда, когда \(a^{p}=b^{q}\). Неравенство Юнга удобно рассматривать как элементарную оценку произведения через суммы степеней.

Неравенство Гёльдера

Для тех же сопряжённых показателей \(p\) и \(q\) и конечных наборов чисел \(a_{k},b_{k}\):

\[\sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\le (\sum |a_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum |b_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}}\].²

Обозначим \(A=(\sum |a_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}\) и \(B=(\sum |b_{k}|^{q})^{\frac{1}{q}}\). Если \(A=0\) или \(B=0\), левая часть неравенства Гёльдера равна нулю, и утверждение очевидно. Пусть теперь \(A\gt 0\) и \(B\gt 0\). Положим \(\alpha _{k}=\frac{|a_{k}|}{A}, \beta _{k}=\frac{|b_{k}|}{B}\). Тогда \(\sum \alpha _{k}^{p}=1\) и \(\sum \beta _{k}^{q}=1\). По неравенству Юнга \(\alpha _{k}\beta _{k}\le \frac{\alpha _{k}^{p}}{p}+\frac{\beta _{k}^{q}}{q}\). Суммируя по \(k\), получаем \(\sum \alpha _{k}\beta _{k}\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\). Умножение на \(AB\) даёт неравенство Гёльдера.

При \(p=q=2\) получаем обычное неравенство Коши—Буняковского.

Пример простыми словами

При \(p=q=2\) неравенство Юнга имеет вид \(ab\le \frac{(a^{2}+b^{2})}{2}\). Например, для \(a=2\) и \(b=3\) получаем \(6\le 6{,}5\). Если применить эту оценку к нормированным членам двух последовательностей и сложить, получается неравенство Гёльдера при \(p=q=2\), то есть Коши—Буняковского.

Частые ошибки

Для Йенсена нужно сначала установить выпуклость или вогнутость функции.
Веса в Йенсене неотрицательны и в сумме равны \(1\).
Показатели Юнга и Гёльдера должны быть сопряжёнными: \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).
В Гёльдере две нормы имеют показатели \(p\) и \(q\); одинаковые показатели возникают в стандартном случае \(p=q=2\).
Неравенство Юнга для сопряжённых степеней не связано с теоремой Юнга о смешанных производных.
Нормировочное доказательство показывает содержательную связь Юнга с Гёльдером, а не только формальное сходство формул.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Первый семестр. Механико-математический факультет МГУ имени М. В. Ломоносова, 2018 г. С. 47. Теорема 68 «Неравенство Йенсена» и применение к неравенству между средними.
2 Ильин В. А. Математический анализ. Начальный курс М.: Издательство МГУ, 1985 г. Гл. 9, § 6, с. 365–366. Неравенство Юнга и неравенство Гёльдера для сумм.