Вертикальная асимптота имеет вид \(x=a\). Она существует, если хотя бы один из односторонних пределов \(f(x)\) при \(x\to a\) равен \(+\infty \) или \(-\infty \). Прямая \(y=kx+b\) является асимптотой при \(x\to +\infty \) или \(x\to -\infty \), если \(f(x)-(kx+b)\to 0\). Если соответствующие пределы конечны, коэффициенты находятся по формулам \(k=\lim \frac{f(x)}{x}\) и \(b=\lim (f(x)-kx)\). При \(k=0\) асимптота горизонтальная:
Что важно запомнить
- Вертикальная асимптота: \(x=a\) при бесконечном одностороннем пределе функции.
- Наклонная асимптота: \(y=kx+b\), если \(f(x)-kx-b\to 0\).
- \(k=\lim \frac{f(x)}{x}\), если этот предел существует и конечен.
- \(b=\lim (f(x)-kx)\), если предел существует и конечен.
- Горизонтальная асимптота является частным случаем \(k=0\).
- При \(x\to +\infty \) и \(x\to -\infty \) асимптоты могут быть разными.
- Значение функции в самой точке \(a\) не влияет на наличие вертикальной асимптоты.
Вертикальные асимптоты
Прямая \(x=a\) называется вертикальной асимптотой графика, если хотя бы с одной стороны
\(f(x)\to +\infty \) или \(f(x)\to -\infty \) при \(x\to a\).
Функция при этом может быть не определена в \(a\), но это не обязательное условие. Даже изменение значения \(f(a)\) не меняет поведения графика при
Наклонные и горизонтальные асимптоты
Прямая
\[y=kx+b\]
является асимптотой при \(x\to +\infty \), если
\[f(x)-(kx+b)\to 0\].
Аналогичное определение используется при \(x\to -\infty \). Если нужные конечные пределы существуют, то коэффициенты однозначно определяются:
\[k=\lim \frac{f(x)}{x}\],
При \(k=0\) получаем горизонтальную асимптоту \(y=b\), то есть конечный предел функции на бесконечности.
Пределы на \(+\infty \) и \(-\infty \) исследуют отдельно. Поэтому один график может иметь разные наклонные или горизонтальные асимптоты справа и слева.
Пример простыми словами
Для \(f(x)=\frac{(2x^{2}+1)}{(x-1)}\) прямая \(x=1\) является вертикальной асимптотой. Делением многочленов получаем \(f(x)=2x+2+\frac{3}{(x-1)}\). Последнее слагаемое стремится к нулю при \(x\to \pm \infty \), поэтому наклонная асимптота имеет вид \(y=2x+2\).
Частые ошибки
- Вертикальная асимптота определяется бесконечным односторонним пределом, а не просто отсутствием значения функции в точке.
- Конечный разрыв не является вертикальной асимптотой.
- Для наклонной асимптоты нужно найти оба коэффициента \(k\) и \(b\).
- Горизонтальная асимптота \(y=b\) — частный случай наклонной формулы при \(k=0\).
- Поведение при \(+\infty \) и \(-\infty \) исследуется отдельно, поэтому асимптоты справа и слева могут различаться.
