Первообразной функции \(f\) на интервале \(I\) называется дифференцируемая функция \(F\), для которой \(F'(x)=f(x)\) при всех \(x\in I\). Если одна первообразная \(F\) существует, то все первообразные имеют вид \(F(x)+C\), где \(C\) — произвольная постоянная. Множество всех первообразных обозначают \(\int f(x)dx\) и называют неопределённым
Основные свойства следуют из линейности производной. В частности, \(\int (\alpha f+\beta g)dx=\alpha \int f dx+\beta \int g dx\). Таблица интегралов является обратной таблицей производных. Формулы применяют на тех интервалах, где соответствующие вещественные функции
Что важно запомнить
- Первообразная \(F\) удовлетворяет равенству \(F'=f\) на всём рассматриваемом интервале.
- Любые две первообразные одной функции на интервале отличаются на постоянную.
- Неопределённый интеграл — это семейство \(F+C\), а не одно число.
- \(\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{(\alpha +1)}+C\) при \(\alpha \ne -1\) на интервале, где \(x^{\alpha }\) является вещественной функцией.
- \(\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C\) на каждом интервале, не содержащем \(0\).
- \(\int e^{x}dx=e^{x}+C, \int \sin x dx=-\cos x+C, \int \cos x dx=\sin x+C\).
- \(\int \frac{dx}{(1+x^{2})}=\operatorname{arctg} x+C\) и \(\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\) на соответствующей области.
- \(\int \frac{dx}{(1-x^{2})}=\frac{1}{2}\cdot \ln |\frac{(1+x)}{(1-x)}|+C\) на интервале, не содержащем \(\pm 1\).
Первообразная и неопределённый интеграл
Пусть \(f\) определена на интервале \(I\). Функция \(F\) называется первообразной \(f\) на \(I\), если \(F\) дифференцируема на \(I\) и \(F'(x)=f(x)\) для каждого \(x\in I\). Если \(F_{0}\) является одной первообразной, то любая функция \(F_{0}+C\) также является первообразной. Обратно, если \(F_{1}\) и \(F_{2}\) — две первообразные \(f\) на одном интервале, то \((F_{1}-F_{2})'=F_{1}'-F_{2}'=f-f=0\). По следствию из теоремы Лагранжа функция с нулевой производной на интервале постоянна, поэтому
Неопределённым интегралом называют множество всех первообразных:
\[\int f(x)dx=F(x)+C\].
Здесь \(C\in \mathbb{R}\) — произвольная постоянная. Запись имеет смысл на фиксированном интервале. Например, для \(\frac{1}{x}\) первообразная \(\ln |x|\) рассматривается отдельно на интервалах \(x\gt 0\) и \(x\lt 0\).
Основные свойства
Если \(f\) и \(g\) имеют первообразные, то для любых постоянных \(\alpha \) и \(\beta \) функция \(\alpha f+\beta g\) также имеет первообразную и
\[\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx\].
Кроме того, \(\int F'(x)dx=F(x)+C\). В обратную сторону дифференцирование любой выбранной первообразной возвращает подынтегральную
Базовая таблица
К основным формулам относятся
\(\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{(\alpha +1)}+C\) при \(\alpha \ne -1\) на интервале, где \(x^{\alpha }\) является вещественной функцией.
\[\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C\].
\[\int e^{x}dx=e^{x}+C\].
\(\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\) при \(a\gt 0\) и \(a\ne 1\).
\(\int \sin x dx=-\cos x+C\), а \(\int \cos x dx=\sin x+C\).
\(\int \frac{dx}{\cos ^{2}x}=\operatorname{tg} x+C\), а \(\int \frac{dx}{\sin ^{2}x}=-\operatorname{ctg} x+C\).
\[\int \frac{dx}{(1+x^{2})}=\operatorname{arctg} x+C\].
\[\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\arcsin x+C\].
\[\int \frac{dx}{(1-x^{2})}=\frac{1}{2}\cdot \ln |\frac{(1+x)}{(1-x)}|+C\].
\[\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}}=\ln |x+\sqrt{1+x^{2}}|+C\].
Каждую формулу можно проверить дифференцированием правой
Пример простыми словами
Найдём \(\int (3x^{2}-\frac{2}{x}+\cos x)dx\) на интервале, не содержащем \(0\). Интегрируем слагаемые отдельно: получаем \(x^{3}-2\ln |x|+\sin x+C\). Проверка производной сразу возвращает исходную функцию.
Частые ошибки
- В неопределённом интеграле произвольная постоянная \(C\) является частью общего ответа.
- Запись \(\int f(x)dx\) обозначает семейство первообразных, а не одно число.
- Для \(\frac{1}{x}\) первообразная имеет вид \(\ln |x|+C\) на каждом интервале, не содержащем нуль.
- Степенная формула не применяется при \(\alpha =-1\) и всегда требует учёта вещественной области \(x^{\alpha }\).
- Существование первообразной не является автоматическим свойством произвольной функции на интервале.
