Замена переменной переносит интеграл к новому аргументу так, чтобы подынтегральное выражение стало проще. Если \(x=\varphi (t)\) и \(F'=f\), то \(\int f(\varphi (t))\varphi '(t)dt=F(\varphi (t))+C\). В привычной записи \(u=g(x)\) это даёт правило
Для определённого интеграла вместе с переменной меняются пределы. Одна удобная достаточная формулировка предполагает, что \(\varphi \) непрерывна на \([\alpha ,\beta ]\), дифференцируема внутри отрезка и монотонна, а её концы переходят в концы промежутка интегрирования. При существовании соответствующих интегралов выполняется \(\int _{\varphi (\alpha )}^{\varphi (\beta )}f(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta } f(\varphi (t))\varphi '(t)dt\). Эти условия достаточны и не утверждаются как минимально
Что важно запомнить
- Подстановка должна преобразовывать и функцию, и дифференциал.
- Для \(u=g(x)\) требуется учесть \(du=g'(x)dx\).
- В неопределённом интеграле после вычисления обычно возвращаются к исходной переменной.
- В определённом интеграле удобнее сразу заменить пределы и не возвращаться к \(x\).
- Одна удобная достаточная формулировка для определённого интеграла использует непрерывную, дифференцируемую внутри и монотонную замену с согласованными концами отрезков.
- Формула с пределами \(\varphi (\alpha )\) и \(\varphi (\beta )\) сама учитывает ориентацию. При убывающей замене нельзя дополнительно менять знак второй раз.
Неопределённый интеграл
Пусть \(F\) является первообразной \(f\) и \(x=\varphi (t)\), где \(\varphi \) дифференцируема. По правилу цепочки
\[\frac{d}{dt} F(\varphi (t))=F'(\varphi (t))\varphi '(t)=f(\varphi (t))\varphi '(t)\].
Следовательно,
Практическая запись \(u=g(x)\) означает то же самое. Если в интеграле присутствует композиция \(f(g(x))\) вместе с множителем \(g'(x)\), то полагают \(u=g(x), du=g'(x)dx\) и получают интеграл по \(u\).
Определённый интеграл
В одной удобной достаточной формулировке \(\varphi \) непрерывна на \([\alpha ,\beta ]\), дифференцируема на \((\alpha ,\beta )\), монотонна и переводит концы отрезка в концы промежутка интегрирования. При существовании нужных интегралов выполняется
Эти условия являются достаточными, но не минимальными. После подстановки в определённом интеграле удобно сразу перейти к новым пределам. Тогда обратный переход к исходной переменной не требуется.
Как выбирать подстановку
Хорошая замена выделяет внутреннюю функцию, устраняет корень или степень, упрощает рациональное выражение либо превращает интеграл в табличный. Выбор подстановки не является отдельной формулой. Его оценивают по тому, насколько проще становится новый интеграл.
Пример простыми словами
В интеграле \(\int _{0}^{1} \frac{2x}{(1+x^{2})} dx\) положим \(u=1+x^{2}\). Тогда \(du=2x dx\), а пределы \(x=0\) и \(x=1\) переходят в \(u=1\) и \(u=2\). Получаем \(\int _{1}^{2} \frac{du}{u}=\ln 2\).
Частые ошибки
- При замене переменной преобразуются не только выражение, но и дифференциал.
- После подстановки под интегралом должна остаться одна выбранная переменная.
- В определённом интеграле вместе с переменной сразу меняются пределы интегрирования.
- Ориентация при убывающей замене уже учтена порядком новых пределов; дополнительный знак менять не нужно.
- Перед применением формулы следует проверить область определения и достаточные условия выбранной замены.
