Интегрирование по частям следует из формулы производной произведения \((uv)'=u'v+uv'\). Для неопределённого интеграла получаем \(\int u dv=uv-\int v du\). В координатной форме это
Для определённого интеграла достаточно, например, предположить, что \(u\) и \(v\) дифференцируемы на отрезке, а \(u'\) и \(v'\) интегрируемы по Риману. Тогда \(\int _{a}^{b} u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b} u'(x)v(x)dx\). Метод полезен, когда дифференцирование одного множителя упрощает его, а второй легко
Что важно запомнить
- Основная формула имеет вид \(\int u dv=uv-\int v du\).
- Формула является следствием правила дифференцирования произведения.
- Для определённого интеграла требуется интегрируемость производных, участвующих в формуле.
- Обязательно вычисляется граничный член \([uv]_{a}^{b}\).
- Обычно в \(u\) выбирают фактор, который упрощается при дифференцировании.
- В \(dv\) выбирают часть, для которой легко найти \(v\).
- Иногда по частям интегрируют несколько раз или получают уравнение относительно исходного интеграла.
Вывод формулы
Из правила производной произведения
\[(uv)'=u'v+uv'\]
следует равенство \(uv'=(uv)'-u'v\). Интегрируя его, получаем
\[\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\].
В дифференциальной записи это обычно пишут как
Определённый интеграл
Достаточно, например, чтобы \(u\) и \(v\) были дифференцируемы на \([a,b]\), а их производные \(u'\) и \(v'\) интегрируемы по Риману. Тогда
Граничный член равен \(u(b)v(b)-u(a)v(a)\). В отличие от неопределённого интеграла здесь произвольная постоянная не появляется.
Выбор \(u\) и \(dv\)
Метод особенно эффективен для произведений многочлена на экспоненту или тригонометрическую функцию, для логарифмов и обратных тригонометрических функций. Универсального правила выбора нет. Полезный ориентир состоит в том, чтобы производная \(u\) становилась проще, а первообразная \(dv\) находилась непосредственно.
Пример простыми словами
Для \(\int x e^{x} dx\) берём \(u=x\) и \(dv=e^{x} dx\). Тогда \(du=dx\) и \(v=e^{x}\). Получаем \(xe^{x}-\int e^{x} dx=xe^{x}-e^{x}+C\). На \([0,1]\) та же формула даёт \(\int _{0}^{1}x e^{x} dx=[xe^{x}]_{0}^{1}-[e^{x}]_{0}^{1}=1\).
Частые ошибки
- Знак минус перед вторым интегралом является обязательной частью формулы по частям.
- Роли \(u\) и \(dv\) различны: \(u\) дифференцируют, а для \(dv\) находят первообразную \(v\).
- В определённом интеграле обязательно появляется граничный член \([uv]_{a}^{b}\).
- Неудачный выбор \(u\) и \(dv\) может сделать новый интеграл сложнее исходного.
- Произвольная постоянная \(C\) относится к неопределённому интегралу и не входит в формулу для определённого.
