Рациональная функция имеет вид \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\), где \(P\) и \(Q\) — многочлены, \(Q\ne 0\). Если степень \(P\) не меньше степени \(Q\), сначала выполняют деление многочленов. Затем знаменатель правильной дроби раскладывают над \(\mathbb{R}\) на линейные множители и неприводимые квадратные множители, после чего дробь представляют как сумму простейших
Для множителя \((x-a)^{m}\) возникают слагаемые \(\frac{A_{k}}{(x-a)^{k}}\). Для неприводимого квадратного множителя \(q(x)^{m}\) возникают \(\frac{(B_{k}x+C_{k})}{q(x)^{k}}\). После определения коэффициентов каждое слагаемое интегрируется таблично или сводится к логарифму, арктангенсу и рациональным
Что важно запомнить
- Сначала отделяют многочлен, если \(\deg P\ge \deg Q\).
- Правильную рациональную дробь раскладывают после факторизации знаменателя над \(\mathbb{R}\).
- Линейному множителю кратности \(m\) соответствуют дроби \(\frac{A_{1}}{(x-a)}+\ldots +\frac{A_{m}}{(x-a)^{m}}\).
- Неприводимому квадратному множителю \(q^{m}\) соответствуют числители первой степени \(B_{k}x+C_{k}\).
- Коэффициенты находят приведением к общему знаменателю и сравнением коэффициентов или подстановкой удобных \(x\).
- Простая линейная дробь даёт логарифм, а квадратный знаменатель часто приводит к логарифму и \(\operatorname{arctg}\).
Подготовка рациональной дроби
Пусть \(R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\). Если \(\deg P\ge \deg Q\), выполняют деление с остатком:
\[P=SQ+R_{0}, \deg R_{0}\lt \deg Q\].
Отсюда \(\frac{P}{Q}=S+\frac{R_{0}}{Q}\).
Многочлен \(S\) интегрируется непосредственно. Дальше достаточно рассматривать правильную
Разложение на простейшие дроби
Над вещественными числами знаменатель раскладывается на линейные множители \((x-a)^{m}\) и неприводимые квадратичные множители \(q(x)^{m}\), где дискриминант \(q\) отрицателен. Для каждого линейного множителя в разложении присутствуют
\[\frac{A_{1}}{(x-a)}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{2}}+\ldots +\frac{A_{m}}{(x-a)^{m}}\].
Для \(q(x)^{m}\) записывают
\[\frac{(B_{1}x+C_{1})}{q(x)}+\ldots +\frac{(B_{m}x+C_{m})}{q(x)^{m}}\].
После приведения к общему знаменателю коэффициенты определяются из тождества
Интегрирование полученных слагаемых
Дробь \(\frac{A}{(x-a)}\) даёт \(A \ln |x-a|\). При степени \(k\gt 1\) получается степенная первообразная. Для квадратного знаменателя числитель разделяют на часть, пропорциональную производной знаменателя, и постоянный остаток. Первая часть даёт логарифм. Оставшаяся часть после выделения полного квадрата сводится к интегралу типа \(\int \frac{dt}{(t^{2}+c^{2})}\) и даёт \(\operatorname{arctg}\). Для более высоких степеней квадратичного множителя применяют повторные преобразования или рекуррентные формулы.
Разложение и первообразная рассматриваются на каждом связном промежутке области определения, не содержащем нулей \(Q\). Постоянная интегрирования на разных компонентах области может быть различной.
Пример простыми словами
Рассмотрим \(\int \frac{(3x+5)}{(x^{2}+x-2)} dx\). Знаменатель равен \((x-1)(x+2)\). Разложение имеет вид \(\frac{8}{[3(x-1)]}+\frac{1}{[3(x+2)]}\). Поэтому интеграл равен \((\frac{8}{3})\ln |x-1|+(\frac{1}{3})\ln |x+2|+C\).
Частые ошибки
- Для неправильной рациональной дроби сначала выполняют деление многочленов.
- Кратный линейный или квадратичный множитель требует всей цепочки простейших дробей до его полной кратности.
- Над неприводимым квадратным множителем числитель в общем случае имеет вид \(Bx+C\).
- Квадратичный множитель с отрицательным дискриминантом над \(\mathbb{R}\) дальше не раскладывается.
- Логарифмы линейных множителей записываются с модулем.
- Первообразную рассматривают отдельно на связных компонентах области, разделённых нулями \(Q\).
