Рационализирующая подстановка выбирается так, чтобы после замены переменной исходное выражение и \(dx\) стали рациональными функциями новой переменной. Для рациональных степеней \(x\) на интервале \(x\gt 0\) удобно брать \(x=t^{N}\), где \(N\) кратно знаменателям показателей. На других вещественных ветвях область и знак проверяют отдельно. Для выражений с корнем \(n\)-й степени из линейно-дробной функции используют \(t^{n}=\frac{(ax+b)}{(cx+d)}\), после чего \(x\) выражается рационально через
Интегралы с \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}\) рационализируются подстановками Эйлера. Стандартные варианты используют \(\sqrt{Q}=t+\sqrt{a}\cdot x\) при \(a\gt 0, \sqrt{Q}=tx+\sqrt{c}\) при \(c\gt 0\) или \(\sqrt{Q}=t(x-x_{1})\), если \(x_{1}\) является вещественным корнем \(Q\). В выражениях, рациональных относительно нескольких показательных функций с соизмеримыми показателями, применяют \(t=e^{\lambda x}\) с подходящим \(\lambda \). Тогда все экспоненты становятся целыми степенями \(t\), а
Что важно запомнить
- Цель рационализации — получить рациональную функцию новой переменной.
- Для рациональных степеней \(x\) на положительном интервале берут \(x=t^{N}\) с подходящим общим знаменателем \(N\).
- Для \(\sqrt[n]{\frac{(ax+b)}{(cx+d)}}\) естественно положить этот корень равным \(t\).
- Для \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}\) используют подстановки Эйлера.
- При \(a\gt 0\) можно положить \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=t+\sqrt{a}\cdot x\).
- При \(c\gt 0\) можно положить \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=tx+\sqrt{c}\).
- Если квадратный трёхчлен имеет вещественный корень \(x_{1}\), можно положить \(\sqrt{ax^{2}+bx+c}=t(x-x_{1})\) на подходящем интервале.
- Для \(e^{\alpha x}, e^{\beta x}, \ldots \) метод работает особенно просто, когда показатели \(\alpha ,\beta ,\ldots \) соизмеримы.
- При \(t=e^{\lambda x}\) нужно использовать \(dx=\frac{dt}{(\lambda t)}\) и учитывать \(t\gt 0\).
Что значит рационализировать интеграл
После подстановки \(x=\varphi (t)\) интеграл принимает вид \(\int F(\varphi (t))\varphi '(t)dt\). Подстановка называется рационализирующей, если новое подынтегральное выражение является рациональной функцией \(t\). После этого можно применять разложение на простейшие
Алгебраические выражения
Если на интервале \(x\gt 0\) присутствуют степени \(x\) с рациональными показателями, выбирают \(x=t^{N}\), где \(N\) является общим кратным знаменателей этих показателей. Тогда все степени превращаются в целые. На других вещественных ветвях допустимость подстановки и знак проверяют отдельно.
Для выражения, рационального относительно \(x\) и \(\sqrt[n]{\frac{(ax+b)}{(cx+d)}}\), полагают
\[t^{n}=\frac{(ax+b)}{(cx+d)}\].
Из этого равенства \(x\) выражается рационально через \(t\). Поэтому рациональными становятся и \(dx\), и исходный радикал.
Подстановки Эйлера
Для \(Q(x)=ax^{2}+bx+c\) используют стандартные варианты. При \(a\gt 0\) можно положить \(\sqrt{Q}=t+\sqrt{a}\cdot x\). Например, после возведения этого равенства в квадрат получаем \((b-2\sqrt{a}\cdot t)x=t^{2}-c\), поэтому \(x=\frac{(t^{2}-c)}{(b-2\sqrt{a}\cdot t)}\) там, где знаменатель ненулевой. При \(c\gt 0\) можно положить \(\sqrt{Q}=tx+\sqrt{c}\). Если \(Q\) имеет вещественный корень \(x_{1}\), используют \(\sqrt{Q}=t(x-x_{1})\) на подходящем интервале. Во всех этих вариантах \(x, \sqrt{Q}\) и \(dx\) выражаются рационально через \(t\). Эквивалентные варианты со сменой знака выбирают с учётом рассматриваемого
Показательные выражения
Если интеграл рационален относительно \(e^{\alpha _{1}x},\ldots ,e^{\alpha _{m}x}\) и показатели соизмеримы, выбирают \(\lambda \) так, чтобы \(\frac{\alpha _{k}}{\lambda} \) были целыми числами, и полагают \(t=e^{\lambda x}\). Тогда \(e^{\alpha _{k}x}=t^{\frac{\alpha _{k}}{\lambda} }\), а
\[dx=\frac{dt}{(\lambda t)}\].
В результате интеграл становится рациональным относительно \(t\).
Пример простыми словами
В интеграле \(\int \frac{dx}{(1+e^{x})}\) положим \(t=e^{x}\). Тогда \(dx=\frac{dt}{t}\) и получаем \(\int \frac{dt}{[t(1+t)]}=\int (\frac{1}{t}-\frac{1}{(1+t)})dt\). Ответ равен \(\ln t-\ln (1+t)+C=x-\ln (1+e^{x})+C\).
Частые ошибки
- Рационализирующая подстановка должна сделать рациональными и исходное выражение, и \(dx\).
- Подстановка \(x=t^{N}\) требует контроля знака \(x\) и вещественной области дробных степеней.
- После любой рационализации нужно явно преобразовать \(dx\).
- Экспоненциальная рационализация одной переменной требует соизмеримых показателей.
- Выбор конкретной подстановки Эйлера зависит от коэффициентов квадратного трёхчлена и рассматриваемого интервала.
- Корни и логарифмы могут вводить дополнительные ограничения области, которые нужно сохранять при обратной замене.
