Тригонометрические интегралы часто упрощают с помощью тождеств и специальных подстановок. Если в произведении степеней \(\sin x\) и \(\cos x\) одна из степеней нечётна, обычно выделяют один соответствующий множитель и делают замену \(t=\cos x\) или \(t=\sin x\). При чётных степенях используют формулы понижения
Любой интеграл от рациональной функции \(R(\sin x,\cos x)\) локально рационализируется универсальной подстановкой \(t=\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\). Тогда \(\sin x=\frac{2t}{(1+t^{2})}, \cos x=\frac{(1-t^{2})}{(1+t^{2})}, dx=\frac{2dt}{(1+t^{2})}\). После замены получается рациональный интеграл по
Что важно запомнить
- Сначала стоит проверить простые тождества и симметрию степеней \(\sin x\) и \(\cos x\).
- Нечётная степень \(\sin x\) часто ведёт к \(t=\cos x\).
- Нечётная степень \(\cos x\) часто ведёт к \(t=\sin x\).
- Для чётных степеней полезны \(\sin ^{2}x=\frac{(1-\cos 2x)}{2}\) и \(\cos ^{2}x=\frac{(1+\cos 2x)}{2}\).
- Универсальная подстановка задаётся формулой \(t=\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\).
- При ней \(\sin x=\frac{2t}{(1+t^{2})}, \cos x=\frac{(1-t^{2})}{(1+t^{2})}, dx=\frac{2dt}{(1+t^{2})}\).
- Подстановка \(\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\) применяется на интервалах, где она определена.
Типовые приёмы
Для интегралов от произведений \(\sin ^{m} x \cos ^{n} x\) выбор метода зависит от чётности показателей. При нечётной степени \(\sin x\) выделяют один множитель \(\sin x dx\) и остальные степени выражают через \(\cos x\). Затем полагают \(t=\cos x\). При нечётной степени \(\cos x\) аналогично используют \(t=\sin x\). Если обе степени чётные, применяют формулы понижения
В интегралах от \(\operatorname{tg} x\) и \(\operatorname{ctg} x\) часто переходят к \(\sin x\) и \(\cos x\) или используют подстановки \(t=\operatorname{tg} x\) и \(t=\operatorname{ctg} x\), если после этого выражение становится рациональным.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Пусть требуется интегрировать рациональное выражение \(R(\sin x,\cos x)\). Полагают
\[t=\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\].
Из формул половинного угла получаем
\[\sin x=\frac{2t}{(1+t^{2})}\],
\[\cos x=\frac{(1-t^{2})}{(1+t^{2})}\],
\[dx=\frac{2dt}{(1+t^{2})}\].
Поэтому любое рациональное выражение от \(\sin x\) и \(\cos x\) превращается в рациональную функцию
Подстановка является локальной: точки \(x=(2k+1)\pi \) не входят в область определения \(\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\), поэтому при необходимости интеграл рассматривают на подходящих интервалах.
Пример простыми словами
В интеграле \(\int \frac{dx}{(2+\cos x)}\) положим \(t=\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\). Тогда \(2+\cos x=\frac{(3+t^{2})}{(1+t^{2})}\), а \(dx=\frac{2dt}{(1+t^{2})}\). Получаем \(\int \frac{2dt}{(t^{2}+3)}=(\frac{2}{\sqrt{3}})\operatorname{arctg}(\frac{t}{\sqrt{3}})+C\). После возврата \(t=\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\) получаем исходную переменную.
Частые ошибки
- Универсальная замена \(t=\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\) работает широко, но не всегда даёт самое короткое решение.
- Формулы для \(\sin x\) и \(\cos x\) через \(t\) различаются знаком в числителе косинуса.
- При универсальной подстановке множитель \(dx=\frac{2dt}{(1+t^{2})}\) обязателен.
- Подстановка \(\operatorname{tg}(\frac{x}{2})\) локальна и не определена при \(x=(2k+1)\pi \).
- В формулах понижения степени знак при \(\cos 2x\) различается для \(\sin ^{2}x\) и \(\cos ^{2}x\).
