Пусть \(a=x_{0}\lt x_{1}\lt \ldots \lt x_{n}=b\) — разбиение отрезка, \(\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}\), а \(\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]\). Сумма \(\sigma (f,P,\xi )=\sum f(\xi _{k})\Delta x_{k}\) называется интегральной суммой Римана. Функция \(f\) интегрируема по Риману на \([a,b]\), если существует число \(I\), к которому стремятся все такие суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю независимо от выбора отмеченных точек. Тогда
Интегрируемая по Риману функция обязательно ограниченна. Непрерывные и монотонные функции на отрезке интегрируемы. Для неотрицательной непрерывной функции интеграл совпадает с площадью криволинейной трапеции. В общем случае это ориентированная, или знаковая,
Что важно запомнить
- Интеграл Римана определяется как предел всех размеченных интегральных сумм.
- Диаметр разбиения \(\lambda (P)=\max \Delta x_{k}\) должен стремиться к нулю.
- Предел не должен зависеть от выбора отмеченных точек \(\xi _{k}\).
- Риманова интегрируемость влечёт ограниченность на отрезке.
- Всякая непрерывная на \([a,b]\) функция интегрируема.
- Всякая монотонная на \([a,b]\) функция интегрируема.
- Геометрическая площадь без знака совпадает с интегралом только для \(f\ge 0\).
Разбиение и интегральная сумма
Разбиением \(P\) отрезка \([a,b]\) называется набор
\[a=x_{0}\lt x_{1}\lt \ldots \lt x_{n}=b\].
На каждом частичном отрезке выбирают точку \(\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]\). Обозначим \(\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}\). Тогда
\[\sigma (f,P,\xi )=\sum _{k=1}^{n} f(\xi _{k})\Delta x_{k}\]
называется интегральной суммой Римана. Диаметр разбиения равен
Определение интеграла
Функция \(f\) интегрируема по Риману на \([a,b]\), если существует число \(I\) такое, что для каждого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся \(\delta \gt 0\) со следующим свойством. Для любого размеченного разбиения с \(\lambda (P)\lt \delta \) выполняется
\[|\sigma (f,P,\xi )-I|\lt \varepsilon \].
Число \(I\) единственно и обозначается
Какие функции интегрируемы
Необходимым условием является ограниченность функции на отрезке. К основным достаточным условиям относятся непрерывность и монотонность на \([a,b]\). Более общий точный критерий через множество точек разрыва рассматривается отдельно.
Геометрический смысл
Если \(f\) непрерывна и неотрицательна, интегральные суммы являются суммами площадей узких прямоугольников, а их предел даёт площадь области между графиком, осью \(Ox\) и прямыми \(x=a, x=b\). Если функция меняет знак, интеграл учитывает площади ниже оси со знаком минус. Поэтому \(\int f\) не следует автоматически отождествлять с обычной геометрической площадью.
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x\) на \([0,1]\) разобьём отрезок на \(n\) равных частей и возьмём правые концы \(\xi _{k}=\frac{k}{n}\). Тогда \(\sigma _{n}=\sum (\frac{k}{n})(\frac{1}{n})=\frac{n(n+1)}{(2n^{2})}=\frac{(n+1)}{(2n)}\). При \(n\to \infty \) получаем \(\int _{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}\).
Частые ошибки
- Сходимость сумм вдоль одной выбранной последовательности разбиений ещё не доказывает интегрируемость: нужен общий предел по всем достаточно мелким размеченным разбиениям.
- Ограниченность является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости по Риману.
- Интегральная сумма — приближение, тогда как интеграл является общим пределом таких сумм.
- При смене знака функции \(\int _{a}^{b} f\) задаёт знаковую площадь, а не обычную геометрическую площадь.
- В данном определении функция рассматривается на замкнутом отрезке \([a,b]\).
