Если \(f\) и \(g\) интегрируемы по Риману на \([a,b]\), то интеграл обладает линейностью: \(\int (\alpha f+\beta g)=\alpha \int f+\beta \int g\). Аддитивность по отрезку означает \(\int _{a}^{b} f=\int _{a}^{c} f+\int _{c}^{b} f\) для \(c\in [a,b]\). Кроме того, произведение \(fg\) и модуль \(|f|\) также
Из монотонности следует неравенство \(\int f\le \int g\) при \(f\le g\). Поэтому из \(m\le f\le M\) получаем \(m(b-a)\le \int _{a}^{b} f\le M(b-a)\). Также выполняется \(|\int _{a}^{b} f|\le \int _{a}^{b}|f|\). Интегрируемость произведения не означает равенства
Что важно запомнить
- Интеграл линейно зависит от подынтегральной функции.
- Интеграл аддитивен по промежутку интегрирования.
- Произведение двух интегрируемых функций интегрируемо.
- Модуль интегрируемой функции также интегрируем.
- Из \(f\le g\) следует \(\int f\le \int g\).
- Из \(m\le f\le M\) следует \(m(b-a)\le \int f\le M(b-a)\).
- Выполняется неравенство \(|\int f|\le \int |f|\).
- Формула \(\int fg=(\int f)(\int g)\) в общем случае неверна.
Линейность и аддитивность
Для интегрируемых \(f\) и \(g\) и чисел \(\alpha ,\beta \) функция \(\alpha f+\beta g\) интегрируема, причём
\[\int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)dx=\alpha \int _{a}^{b} fdx+\beta \int _{a}^{b} gdx\].
Если \(c\in [a,b]\), интеграл можно разбить на сумму по двум соседним промежуткам.
Произведение и модуль
Произведение двух интегрируемых функций \(fg\) также интегрируемо. Это свойство относится к существованию интеграла от произведения. Оно не даёт формулы \(\int fg=(\int f)(\int g)\), которая в общем случае неверна.
Из интегрируемости \(f\) следует интегрируемость \(|f|\). Следующее неравенство называют неравенством треугольника для интеграла:
Монотонность и оценки
Если \(f(x)\le g(x)\) на \([a,b]\), то
\[\int _{a}^{b} fdx\le \int _{a}^{b} gdx\].
Если \(m\le f(x)\le M\), получаем оценку
\[m(b-a)\le \int _{a}^{b} f(x)dx\le M(b-a)\].
Если \(|f(x)|\le M\), то \(|\int _{a}^{b} fdx|\le M(b-a)\). Эти оценки позволяют контролировать интеграл без его точного
Пример простыми словами
На \([0,1]\) имеем \(|x^{2}\sin x|\le x^{2}\). Поэтому \(|\int _{0}^{1}x^{2}\sin x dx|\le \int _{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\). Точное значение интеграла для такой оценки знать не требуется.
Частые ошибки
- Равенство \(\int fg=(\int f)(\int g)\) в общем случае неверно, хотя произведение интегрируемых функций само интегрируемо.
- Монотонность интеграла требует поточечного неравенства \(f\le g\) на всём рассматриваемом отрезке.
- В оценке \(m(b-a)\le \int f\le M(b-a)\) множитель \(b-a\) является существенной частью формулы.
- Величины \(|\int f|\) и \(\int |f|\) связаны неравенством \(|\int f|\le \int |f|\) и обычно не равны.
- Свойства линейности, произведения и модуля применяются при выполнении соответствующих условий интегрируемости.
