Для ограниченной функции на \([a,b]\) критерий Коши формулируется через интегральные суммы: \(f\) интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что любые две размеченные суммы с диаметрами разбиений меньше \(\delta \) отличаются менее чем на \(\varepsilon \). Это условие выражает фундаментальность всех достаточно мелких римановых
Критерий Дарбу использует нижние и верхние суммы. Если \(m_{k}\) и \(M_{k}\) — инфимум и супремум \(f\) на частичном отрезке, то \(s(f,P)=\sum m_{k}\Delta x_{k}\) и \(S(f,P)=\sum M_{k}\Delta x_{k}\). Функция интегрируема тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует разбиение \(P\), для которого \(S(f,P)-s(f,P)\lt \varepsilon \). Эквивалентно, верхний и нижний интегралы Дарбу
Что важно запомнить
- Критерий Коши сравнивает любые две достаточно мелкие размеченные суммы.
- Ограниченность функции является обязательной предпосылкой критериев Дарбу.
- Нижняя сумма использует \(\inf f\) на каждом частичном отрезке.
- Верхняя сумма использует \(\sup f\) на каждом частичном отрезке.
- Всегда \(s(f,P)\le S(f,P)\).
- При добавлении точек к разбиению нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
- По критерию Дарбу для каждого \(\varepsilon \gt 0\) можно добиться \(S-s\lt \varepsilon \).
- Это равносильно совпадению нижнего и верхнего интегралов Дарбу.
Критерий Коши
Пусть \(f\) ограничена на \([a,b]\). Для размеченного разбиения обозначим риманову сумму через \(\sigma (f,P,\xi )\). Функция \(f\) интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что для любых двух размеченных разбиений \((P,\xi )\) и \((Q,\eta )\) с \(\lambda (P)\lt \delta \) и \(\lambda (Q)\lt \delta \) выполняется
\[|\sigma (f,P,\xi )-\sigma (f,Q,\eta )|\lt \varepsilon \].
Необходимость следует из близости обеих сумм к интегралу. Достаточность использует полноту \(\mathbb{R}\). Все достаточно мелкие суммы образуют фундаментальную систему и имеют общий
Суммы и интегралы Дарбу
Для разбиения \(P\) и каждого \(\Delta _{k}=[x_{k-1},x_{k}]\) положим
\[m_{k}=\inf _{\Delta _{k}}f, M_{k}=\sup _{\Delta _{k}}f\].
Тогда нижняя и верхняя суммы Дарбу равны
\[s(f,P)=\sum m_{k}\Delta x_{k}, S(f,P)=\sum M_{k}\Delta x_{k}\].
Если к разбиению добавляют новые точки, нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается. Нижний интеграл Дарбу определяется как \(\sup _{P} s(f,P)\), а верхний как \(\inf _{P} S(f,P)\). Всегда нижний интеграл не превосходит
Критерии Дарбу
Для ограниченной функции эти формулировки эквивалентны. Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда нижний и верхний интегралы Дарбу совпадают. Это также равносильно следующему условию. Для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует разбиение \(P\) такое, что
\[S(f,P)-s(f,P)\lt \varepsilon \].
Поскольку \(S-s=\sum (M_{k}-m_{k})\Delta x_{k}\), критерий можно записать через колебания функции на частичных отрезках. Именно эта форма связывает интегрируемость с малостью суммарного
Пример простыми словами
Для функции Дирихле \(D=1\) на рациональных и \(D=0\) на иррациональных числах на каждом невырожденном подотрезке \(m_{k}=0\) и \(M_{k}=1\). Поэтому \(S(D,P)-s(D,P)=b-a\) при любом разбиении. Критерий Дарбу показывает, что \(D\) не интегрируема по Риману.
Частые ошибки
- Критерий Коши требует сравнения любых двух достаточно мелких размеченных сумм, а не одной заранее выбранной последовательности.
- Размеченные суммы Римана и верхние или нижние суммы Дарбу — разные конструкции.
- Ограниченность функции является исходной предпосылкой критериев Дарбу.
- Малый диаметр разбиения сам по себе не заменяет условие \(S(f,P)-s(f,P)\lt \varepsilon \).
- Нижний интеграл Дарбу равен \(\sup _{P} s(f,P)\), а верхний — \(\inf _{P} S(f,P)\); перестановка \(\sup \) и \(\inf \) меняет смысл определения.
