Для произвольного множества \(E\subset \mathbb{R}\) рассматривают все его не более чем счётные покрытия интервалами. Верхняя, или внешняя, мера Лебега определяется формулой \(m^{*}(E)=\inf \{\sum |I_{k}| : E\subset \bigcup I_{k}\}\). Она монотонна, счётно полуаддитивна и инвариантна относительно сдвига. Для отрезка \([a,b]\) верхняя мера равна
Множество \(E\) имеет меру нуль, если \(m^{*}(E)=0\). Эквивалентно, для каждого \(\varepsilon \gt 0\) его можно покрыть не более чем счётным набором интервалов с суммой длин меньше \(\varepsilon \). Любое подмножество множества меры нуль и любое счётное объединение таких множеств снова имеют меру нуль. Счётные множества имеют меру нуль, но существуют и несчётные примеры, например множество
Что важно запомнить
- Верхняя мера Лебега также называется внешней мерой Лебега.
- \(m^{*}(E)\) — инфимум суммарных длин счётных интервальных покрытий \(E\).
- Верхняя мера определена для произвольного подмножества \(\mathbb{R}\).
- Если \(E\subset F\), то \(m^{*}(E)\le m^{*}(F)\).
- \(m^{*}(\bigcup E_{n})\le \sum m^{*}(E_{n})\).
- Сдвиг множества не меняет верхнюю меру.
- Множество меры нуль характеризуется равенством \(m^{*}(E)=0\).
- Для множества меры нуль при любом \(\varepsilon \gt 0\) существует интервальное покрытие общей длины меньше \(\varepsilon \).
- Счётные множества имеют меру нуль, но обратное неверно.
- На произвольных множествах верхняя мера не обязана быть аддитивной.
Определение верхней меры
Верхнюю меру Лебега также называют внешней мерой Лебега. Для произвольного \(E\subset \mathbb{R}\) рассматривают не более чем счётные семейства открытых интервалов \(\{I_{k}\}\), покрывающие \(E\). Определяют
Использование других стандартных типов интервалов приводит к эквивалентному определению. Если покрытия с конечной суммарной длиной нет, верхняя мера равна \(+\infty \). Инфимум не означает, что существует покрытие с точно минимальной суммой длин.
Основные свойства
Верхняя мера неотрицательна и \(m^{*}(\varnothing )=0\). Из включения \(E\subset F\) следует \(m^{*}(E)\le m^{*}(F)\). Для последовательности множеств выполняется счётная полуаддитивность
\[m^{*}(\bigcup _{n} E_{n})\le \sum _{n} m^{*}(E_{n})\].
Кроме того, \(m^{*}(E+a)=m^{*}(E)\) для любого сдвига \(a\), а для интервала или отрезка длины \(L\) верхняя мера равна \(L\). На произвольных множествах \(m^{*}\) является внешней мерой, поэтому полной аддитивности требовать нельзя. Аддитивная мера появляется после выделения измеримых
Множества меры нуль
Множество \(E\) называется множеством меры нуль по Лебегу, если \(m^{*}(E)=0\). Это равносильно следующему условию: для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует не более чем счётное покрытие \(E\) интервалами \(I_{k}\) такое, что \(\sum |I_{k}|\lt \varepsilon \). Именно в такой форме понятие используется при критерии Лебега интегрируемости по
Если \(D\) имеет меру нуль и \(E\subset D\), то \(E\) также имеет меру нуль. Счётное объединение множеств меры нуль снова имеет меру нуль. Поэтому каждое конечное или счётное множество имеет меру нуль. Существуют и несчётные множества меры нуль. Классический пример — множество
Пример простыми словами
Пусть \(E=\{q_{1},q_{2},\ldots \}=\mathbb{Q}\cap [0,1]\). Для заданного \(\varepsilon \gt 0\) накроем \(q_{n}\) интервалом длины \(\frac{\varepsilon}{2^{n+1}}\). Тогда общая длина покрытий меньше \(\varepsilon \). Поскольку такое покрытие можно построить для любого \(\varepsilon \), множество \(\mathbb{Q}\cap [0,1]\) имеет меру нуль.
Частые ошибки
- Верхняя мера — инфимум суммарных длин по всем допустимым покрытиям, а не длина одного выбранного покрытия.
- Инфимум в определении внешней меры может не достигаться конкретным покрытием.
- Множество меры нуль не обязано быть счётным; множество Кантора служит стандартным контрпримером.
- Для произвольных множеств внешняя мера гарантирует счётную полуаддитивность, но не полную аддитивность.
- Равенство \(m^{*}(E)=0\) требует покрытий сколь угодно малой суммарной длины для каждого \(\varepsilon \gt 0\), а не одного фиксированного малого покрытия.
