Измеримой по Лебегу функцией \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) называют функцию, для которой прообраз каждого борелевского множества измерим. Для вещественной функции достаточно проверять уровневые множества: например, \(\{x\in [a,b]: f(x)\gt c\}\) должно быть измеримо для каждого \(c\in \mathbb{R}\). Эквивалентно можно использовать условия с \(\ge \), \(\lt\) или
Непрерывные функции измеримы. Если \(f\) и \(g\) измеримы, то измеримы \(f\pm g, fg, |f|, \max (f,g), \min (f,g)\), а \(\frac{f}{g}\) измерима там, где \(g\ne 0\). Поточечный предел последовательности измеримых функций также
Что важно запомнить
- Для вещественной функции достаточно проверять измеримость одного семейства уровневых множеств для всех \(c\in \mathbb{R}\).
- Условия \(\{f\gt c\}, \{f\ge c\}, \{f\lt c\}, \{f\le c\}\) эквивалентны.
- Эквивалентная формулировка: прообраз любого открытого или борелевского множества измерим.
- Всякая непрерывная функция на отрезке измерима.
- Арифметические операции над измеримыми функциями сохраняют измеримость, если выражение определено.
- Поточечный предел измеримых функций измерим.
- Измеримость не означает непрерывность и сама по себе не означает интегрируемость по Риману.
Определение и эквивалентные формулировки
Пусть \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\). Функция называется измеримой по Лебегу, если для каждого борелевского множества \(B\subset \mathbb{R}\) его прообраз \(f^{-1}(B)\) является измеримым подмножеством \([a,b]\). Для вещественной функции это определение удобно заменять эквивалентными условиями. Достаточно требовать, чтобы для каждого \(c\in \mathbb{R}\) было измеримо хотя бы одно из семейств
Эквивалентность следует из операций дополнения и счётных объединений. Например, \(\{f\ge c\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\{f\gt c-\frac{1}{n}\}\). Это счётное пересечение измеримых множеств, поэтому оно измеримо. Множество \(\{f\lt c\}\) является дополнением \(\{f\ge c\}\) относительно \([a,b]\).
Основные свойства
Непрерывная функция измерима, потому что прообраз открытого множества открыт относительно \([a,b]\). Если \(f\) и \(g\) измеримы, то измеримы \(f+g, f-g, fg, |f|, \max (f,g)\) и \(\min (f,g)\). Частное \(\frac{f}{g}\) измеримо на множестве, где \(g\) не обращается в нуль. Эти свойства позволяют строить сложные измеримые функции из более простых.
Если \(f_{n}\) измеримы и \(f_{n}(x)\to f(x)\) для каждого \(x\), то предел \(f\) также измерим. Аналогично измеримы \(\sup _{n} f_{n}, \inf _{n} f_{n}, \limsup f_{n}\) и \(\liminf f_{n}\), когда соответствующие значения рассматриваются в расширенной вещественной
Характерные примеры
Индикатор \(\chi _{E}\) измеримого множества \(E\) измерим. В частности, \(\chi _{\mathbb{Q}\cap [0,1]}\) измерима, потому что множество рациональных чисел счётно и измеримо. При этом эта функция разрывна в каждой точке \([0,1]\). Значит, измеримость существенно слабее непрерывности.
Пример простыми словами
Пусть \(E\subset [0,1]\) измеримо и \(f=\chi _{E}\). Для \(c\lt 0\) множество \(\{f\gt c\}\) равно всему \([0,1]\), для \(0\le c\lt 1\) оно равно \(E\), а для \(c\ge 1\) пусто. Все эти множества измеримы, поэтому \(\chi _{E}\) измерима.
Частые ошибки
- Уровневое условие измеримости должно выполняться для каждого \(c\in \mathbb{R}\), а не для одного выбранного уровня.
- В определении измеримости используются прообразы \(f^{-1}(B)\), а не образы множеств под действием \(f\).
- Измеримость существенно слабее непрерывности и сама по себе не гарантирует интегрируемость по Риману.
- Частное \(\frac{f}{g}\) рассматривается только там, где знаменатель \(g\) не обращается в нуль.
