Критерий Лебега даёт точную характеристику римановой интегрируемости: функция \(f\) интегрируема по Риману на \([a,b]\) тогда и только тогда, когда она ограничена и множество её точек разрыва имеет меру нуль. Эквивалентно, \(f\) должна быть непрерывна почти
Множество меры нуль может быть несчётным, поэтому критерий существенно шире утверждения «допустимо лишь счётное число разрывов». С другой стороны, ограниченность остаётся обязательным отдельным
Что важно запомнить
- Необходимы оба условия: ограниченность и непрерывность почти всюду.
- «Почти всюду» означает, что множество исключительных точек имеет меру нуль.
- Счётное множество разрывов всегда имеет меру нуль, но множество меры нуль не обязано быть счётным.
- Критерий является необходимым и достаточным.
- Функция Дирихле не интегрируема по Риману, потому что разрывна всюду.
- Функция Томаэ интегрируема, поскольку её точки разрыва образуют счётное множество.
Формулировка критерия
Пусть \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\). Критерий Лебега утверждает:
\(f\) интегрируема по Риману на \([a,b] \Leftrightarrow f\) ограничена и множество \(D(f)\) её точек разрыва имеет меру
Так как свойство, нарушающееся лишь на множестве меры нуль, называют выполненным почти всюду, критерий часто формулируют так: ограниченная функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она непрерывна почти всюду.
Почему возникает множество меры нуль
По критерию Дарбу интегрируемость означает, что сумму \(\sum \omega (f,\Delta _{k})|\Delta _{k}|\) можно сделать сколь угодно малой. В точках непрерывности колебание \(\omega \) уменьшается вместе с длиной отрезка. Точки разрыва требуют отдельного покрытия малыми интервалами. Если их множество имеет меру нуль, суммарную длину такого покрытия можно сделать сколь угодно малой. Ограниченность \(f\) затем контролирует вклад этих
Следствия
Всякая непрерывная функция интегрируема. Всякая монотонная функция также интегрируема, поскольку её множество разрывов не более чем счётно. Любая ограниченная функция с конечным или счётным множеством разрывов интегрируема, но критерий допускает и несчётное множество разрывов, если оно имеет меру нуль.
Пример простыми словами
Функция Дирихле \(\chi_{\mathbb{Q}}\) на \([0,1]\) разрывна в каждой точке, поэтому множество разрывов имеет меру \(1\) и функция не интегрируема по Риману. У функции Томаэ разрывы находятся только в рациональных точках, то есть на счётном множестве меры нуль. Она ограничена, поэтому интегрируема по Риману.
Частые ошибки
- Критерий Лебега требует одновременно ограниченности функции и меры нуль множества её точек разрыва.
- Множество меры нуль может быть несчётным, поэтому счётность разрывов является лишь достаточным частным случаем.
- Критерий Лебега для интеграла Римана не является определением интеграла Лебега.
- Непрерывность на плотном множестве сама по себе не обеспечивает интегрируемость по Риману: важна мера множества разрывов.
