Пусть \(f\) интегрируема по Риману на \([a,b]\) и \(F(x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\). Тогда \(F\) непрерывна на \([a,b]\). Более того, если \(|f|\le M\), то \(|F(y)-F(x)|\le M|y-x|\), поэтому \(F\) липшицева. Если \(x_{0}\in (a,b)\) и \(f\) непрерывна в \(x_{0}\), то \(F'(x_{0})=f(x_{0})\). При непрерывности \(f\) в концах отрезка соответствующие односторонние производные \(F\) также равны значениям
Следовательно, если \(f\) непрерывна на всём отрезке, функция \(F(x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\) является её первообразной на \((a,b)\). Это доказывает существование первообразной у любой непрерывной
Что важно запомнить
- Интеграл с переменным верхним пределом задаёт функцию \(F(x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\).
- Если \(f\) интегрируема по Риману, \(F\) непрерывна и даже липшицева.
- Во внутренней точке непрерывности \(f\) выполняется \(F'=f\).
- В концах отрезка при непрерывности \(f\) используются соответствующие односторонние производные.
- Для непрерывной \(f\) равенство \(F'=f\) справедливо на всём внутреннем интервале.
- Поэтому всякая непрерывная функция на интервале имеет первообразную.
- В точке разрыва \(f\) производная \(F\) может не существовать или не совпадать с \(f\).
Непрерывность интеграла с переменным пределом
Пусть \(f\in R[a,b]\) и
\[F(x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\].
Риманова интегрируемость влечёт ограниченность. Если \(|f(t)|\le M\), то для \(x,y\in [a,b]\)
\[|F(y)-F(x)|=|\int _{x}^{y} f(t)dt|\le M|y-x|\].
Следовательно, \(F\) удовлетворяет условию Липшица и, в частности,
Производная в точке непрерывности
Пусть \(x_{0}\in (a,b)\) и \(f\) непрерывна в \(x_{0}\). Для достаточно малого \(h\ne 0\)
\[\frac{[F(x_{0}+h)-F(x_{0})]}{h}=(\frac{1}{h})\int _{x_{0}}^{x_{0}+h}f(t)dt\].
Вычтем \(f(x_{0})\). Модуль разности не превосходит максимума \(|f(t)-f(x_{0})|\) на промежутке между \(x_{0}\) и \(x_{0}+h\). По непрерывности этот максимум стремится к нулю. Поэтому
Если \(f\) непрерывна в \(a\) или \(b\), тем же рассуждением получают правую производную \(F\) в \(a\), равную \(f(a)\), и левую производную \(F\) в \(b\), равную \(f(b)\).
Существование первообразной
Если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), она непрерывна в каждой внутренней точке. Значит, \(F'(x)=f(x)\) для \(x\in (a,b)\). Таким образом, \(F\) является первообразной \(f\) на \((a,b)\). Любая другая первообразная отличается от неё на постоянную.
Пример простыми словами
Для \(f(t)=t^{2}\) на \([0,1]\) получаем \(F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt=\frac{x^{3}}{3}\). Производная \(F'(x)=x^{2}\) совпадает с исходной функцией.
Частые ошибки
- Для произвольной риманово интегрируемой \(f\) равенство \(F'=f\) гарантируется не во всех точках, а в точках непрерывности \(f\).
- Непрерывность \(f\) используется локально при доказательстве производной интеграла в рассматриваемой точке.
- Переменная \(t\) внутри интеграла является фиктивной переменной интегрирования, а \(x\) задаёт переменный верхний предел.
- В концах отрезка возникают соответствующие односторонние производные.
