Формула Ньютона—Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной. Если \(f\) интегрируема по Риману на \([a,b]\) и \(F\) непрерывна на \([a,b]\), дифференцируема на \((a,b)\) и \(F'(x)=f(x)\), то
Для непрерывной \(f\) существование такой первообразной гарантируется интегралом с переменным верхним пределом. Поэтому вычисление определённого интеграла сводится к нахождению любой первообразной и подстановке концов
Что важно запомнить
- Формула имеет вид \(\int _{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)\).
- \(F\) должна быть первообразной \(f\) на внутренности отрезка и непрерывной на его концах.
- Для формулы достаточно римановой интегрируемости \(f\) и существования непрерывной на \([a,b]\) первообразной \(F\), дифференцируемой на \((a,b)\).
- Для непрерывной \(f\) первообразная всегда существует.
- Любая первообразная даёт один и тот же результат, поскольку постоянная сокращается.
- Формула не утверждает, что произвольная риманово интегрируемая функция обязана иметь первообразную.
Формулировка
Пусть \(f\in R[a,b]\). Предположим, что существует \(F\in C[a,b]\), дифференцируемая на \((a,b)\), такая что \(F'(x)=f(x)\) для всех \(x\in (a,b)\). Тогда
Почему формула верна
Возьмём разбиение \(a=x_{0}\lt x_{1}\lt \ldots \lt x_{n}=b\). По теореме Лагранжа для каждого частичного отрезка существует \(\xi _{k}\in (x_{k-1},x_{k})\), для которого
\[F(x_{k})-F(x_{k-1})=F'(\xi _{k})\Delta x_{k}=f(\xi _{k})\Delta x_{k}\].
Суммируя, получаем телескопическую сумму
\[F(b)-F(a)=\sum f(\xi _{k})\Delta x_{k}\].
Правая часть является интегральной суммой Римана. При стремлении диаметра разбиения к нулю она стремится к \(\int _{a}^{b} f\), что и даёт
Связь с основной теоремой анализа
Если \(f\) непрерывна, то функция \(\Phi (x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\) является первообразной \(f\). Подстановка \(\Phi \) в формулу даёт \(\Phi (b)-\Phi (a)=\int _{a}^{b} f\). Тем самым дифференцирование и интегрирование выступают как взаимно обратные операции с точностью до постоянной.
Пример простыми словами
Для \(\int _{0}^{1}3x^{2}dx\) берём \(F(x)=x^{3}\). По формуле Ньютона—Лейбница \(\int _{0}^{1}3x^{2}dx=F(1)-F(0)=1\).
Частые ошибки
- В формуле Ньютона—Лейбница значения на границах подставляются в первообразную \(F\), а не в подынтегральную функцию \(f\).
- Нижнее значение \(F(a)\) вычитается из верхнего \(F(b)\).
- Формула предполагает существование подходящей первообразной и сама по себе не утверждает, что она есть у любой риманово интегрируемой функции.
- Произвольная постоянная \(C\) сокращается и не входит в окончательное значение определённого интеграла.
