Если \(f\) и \(g\) интегрируемы по Риману и \(f(x)\le g(x)\) на \([a,b]\), то \(\int _{a}^{b} f\le \int _{a}^{b} g\). В частности, из \(m\le f\le M\) следует
Первая теорема о среднем: если \(f\) непрерывна, \(g\) интегрируема и \(g\ge 0\), то существует \(c\in [a,b]\) такое, что \(\int _{a}^{b} f(x)g(x)dx=f(c)\int _{a}^{b} g(x)dx\). При \(g\equiv 1\) получаем \(\int f=f(c)(b-a)\). Вторая теорема о среднем связывает интеграл произведения с интегралами \(f\) по двум частям отрезка, если второй множитель
Что важно запомнить
- Поточечное неравенство интегрируется в том же направлении.
- Из \(m\le f\le M\) следуют стандартные двусторонние оценки интеграла.
- В первой теореме о среднем вес \(g\) должен сохранять знак, обычно берут \(g\ge 0\).
- При \(g\equiv 1\) среднее значение функции равно \((\frac{1}{(b-a)})\int _{a}^{b} f\).
- Для непрерывной \(f\) это среднее значение достигается: существует \(c\), в котором \(f(c)\) равно среднему значению.
- Вторая теорема о среднем применяется при монотонном множителе.
Интегрирование неравенств
Если \(f,g\in R[a,b]\) и \(f(x)\le g(x)\) для всех \(x\), то
\[\int _{a}^{b} f(x)dx\le \int _{a}^{b} g(x)dx\].
Отсюда при \(m\le f(x)\le M\) получаем
Первая теорема о среднем
Пусть \(f\) непрерывна на \([a,b], g\in R[a,b]\) и \(g(x)\ge 0\). Тогда существует \(c\in [a,b]\) такое, что
Действительно, если \(m=\min f\) и \(M=\max f\), то \(mg\le fg\le Mg\). После интегрирования значение \(\int fg\) лежит между \(m\int g\) и \(M\int g\). Если \(\int g\gt 0\), отношение этих интегралов лежит между \(m\) и \(M\), а непрерывная \(f\) принимает все промежуточные значения. При \(\int g=0\) утверждение тривиально.
Частный случай \(g\equiv 1\) даёт
\[\int _{a}^{b} f(x)dx=f(c)(b-a)\].
Вторая теорема о среднем
Если \(f\in R[a,b]\), а \(g\) монотонна на \([a,b]\), то существует \(c\in [a,b]\) такое, что
Эта формула особенно полезна, когда монотонный множитель можно вынести в значения на концах, а знак или оценки первообразных интегралов от \(f\) известны.
Пример простыми словами
Для \(f(x)=x^{2}\) на \([0,1]\) среднее значение равно \(\int _{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\). По первой теореме о среднем существует \(c\in [0,1]\) с \(c^{2}=\frac{1}{3}\), то есть \(c=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Частые ошибки
- Интегрирование поточечного неравенства требует, чтобы оно выполнялось на всём рассматриваемом отрезке.
- В доказательстве первой теоремы о среднем случай \(\int g=0\) разбирается отдельно; деление на этот интеграл тогда недопустимо.
- Заключение о существовании точки \(c\) с \(f(c)\), равным среднему значению, использует непрерывность \(f\).
- Первая и вторая теоремы о среднем имеют разные гипотезы и не являются взаимозаменяемыми формулами.
