Определённый интеграл позволяет вычислять геометрические величины как предел сумм элементарных площадей, длин или объёмов. Площадь между графиками \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), если \(f\ge g\) на \([a,b]\), равна \(S=\int _{a}^{b}(f-g)dx\). Для кривой \(y=f(x), f\in C^{1}[a,b]\), длина дуги равна
Если площадь поперечного сечения \(A(x)\) риманово интегрируема и тело описывается такими сечениями, его объём равен \(V=\int _{a}^{b} A(x)dx\). Для тела вращения вокруг оси \(Ox\) при \(0\le g\le f\) получаем
Что важно запомнить
- Площадь под неотрицательным графиком равна \(\int f\).
- Площадь между двумя графиками при \(f\ge g\) равна \(\int (f-g)\).
- Если графики меняются местами, используют разбиение области или \(\int |f-g|\).
- Для \(y=f(x), f\in C^{1}\), длина дуги равна \(\int \sqrt{1+(f')^{2}}dx\).
- Для простой параметрической \(C^{1}\)-кривой длина равна интегралу от скорости параметризации.
- Общая формула объёма через риманово интегрируемую площадь сечения имеет вид \(V=\int A(x)dx\).
- Для вращения вокруг \(Ox\) площадь кольцевого сечения равна \(\pi (R^{2}-r^{2})\).
Площадь плоской фигуры
Если \(f\in C[a,b]\) и \(f\ge 0\), площадь криволинейной трапеции под графиком \(y=f(x)\) равна
Если фигура ограничена графиками \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\), причём \(f(x)\ge g(x)\), то
\[S=\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\].
Если порядок графиков меняется, точки пересечения включают в разбиение или используют \(\int |f-g|\).
Длина дуги
Пусть кривая задана графиком \(y=f(x)\), где \(f\in C^{1}[a,b]\). Из определения длины через вписанные ломаные и предельного перехода получается
Для простой параметрической кривой \(x=\varphi (t), y=\psi (t), t\in [\alpha ,\beta ]\), где \(\varphi ,\psi \in C^{1}[\alpha ,\beta ]\), длина равна
Объём
Если площадь поперечного сечения тела плоскостью \(x=\operatorname{const}\) равна \(A(x)\), функция \(A\) риманово интегрируема на \([a,b]\) и тело допускает описание через такие сечения, то
При вращении области между \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) вокруг \(Ox\), где \(0\le g\le f\), сечение является кольцом. Поэтому
\[V=\pi \int _{a}^{b}[f(x)^{2}-g(x)^{2}]dx\].
Пример простыми словами
Область под \(y=x\) на \([0,1]\) имеет площадь \(\int _{0}^{1}x dx=\frac{1}{2}\). Если её вращать вокруг \(Ox\), получится конус объёма \(V=\pi \int _{0}^{1}x^{2}dx=\frac{\pi}{3}\).
Частые ошибки
- Обычная геометрическая площадь не совпадает со знаковым интегралом, если функция меняет знак.
- Для площади между графиками при \(f\ge g\) интегрируют разность \(f-g\), то есть верхнюю функцию минус нижнюю.
- В формуле длины дуги производная входит под корень в квадрате: \(\sqrt{1+(f')^{2}}\).
- При вращении вокруг оси площадь диска или кольца содержит квадрат радиуса, поэтому возникает множитель \(\pi f^{2}\) или \(\pi (R^{2}-r^{2})\).
- Формула длины в указанном виде опирается на достаточные условия гладкости \(C^{1}\).
