Если величина распределена вдоль отрезка с линейной плотностью \(\rho (x)\ge 0\), её масса равна \(m=\int _{a}^{b}\rho (x)dx\). Формула возникает как предел сумм \(\rho (\xi _{k})\Delta x_{k}\) для малых участков
Работа переменной силы \(F(x)\), направленной вдоль движения от \(x=a\) до \(x=b\), равна \(A=\int _{a}^{b}F(x)dx\). Если сила меняет знак, интеграл даёт алгебраическую работу: участки, где сила направлена против движения, дают отрицательный
Что важно запомнить
- Масса получается интегрированием плотности по соответствующей координате.
- Для линейной плотности \(\rho (x)\) единица \(\rho \) — масса на единицу длины.
- Работа переменной силы вдоль прямой равна \(\int F(x)dx\).
- Знак силы важен: интеграл вычисляет алгебраическую работу.
- Для постоянной плотности формула даёт \(m=\rho (b-a)\).
- Для постоянной силы формула даёт \(A=F(b-a)\).
- Для пружины сила упругости равна \(-kx\). При квазистатическом растяжении внешняя сила равна \(+kx\).
Масса неоднородного стержня
Пусть тонкий стержень занимает \([a,b]\), а его линейная плотность равна \(\rho (x)\). Малый участок длины \(\Delta x\) около точки \(\xi \) имеет массу приблизительно \(\rho (\xi )\Delta x\). Суммируя такие массы и переходя к пределу, получаем
При постоянной плотности \(\rho _{0}\) формула возвращает обычное выражение \(m=\rho _{0}(b-a)\).
Работа переменной силы
Пусть материальная точка движется вдоль оси \(Ox\), а действующая вдоль движения сила зависит от координаты: \(F=F(x)\). На малом перемещении \(\Delta x\) элементарная работа приближённо равна \(\Delta A\approx F(\xi )\Delta x\). Поэтому полная работа равна
Если \(F(x)\gt 0\), сила способствует движению. Если \(F(x)\lt 0\), соответствующий участок даёт отрицательную работу. Для пружины сила упругости равна \(F_{\text{упр}}(x)=-kx\). При квазистатическом растяжении внешняя сила, уравновешивающая пружину, равна \(F_{\text{внеш}}(x)=kx\). Поэтому работа внешней силы при растяжении от \(0\) до \(l\) равна \(\int _{0}^{l}kx dx=\frac{kl^{2}}{2}\), а работа силы упругости на том же перемещении равна \(-\frac{kl^{2}}{2}\).
Пример простыми словами
Плотность стержня на \([0,2]\) равна \(\rho (x)=1+x\). Тогда \(m=\int _{0}^{2}(1+x)dx=4\). Для пружины с жёсткостью \(k\) при квазистатическом растяжении внешняя сила равна \(kx\), поэтому её работа от \(0\) до \(l\) равна \(\int _{0}^{l}kx dx=\frac{kl^{2}}{2}\). Сила упругости на том же перемещении совершает работу \(-\frac{kl^{2}}{2}\).
Частые ошибки
- При переменной плотности масса определяется интегралом \(\int \rho (x)dx\); произведение одного значения плотности на всю длину корректно только для постоянной \(\rho \).
- Линейная плотность имеет размерность «масса на единицу длины», поэтому размерность интеграла должна совпадать с размерностью массы.
- Формула \(A=F\cdot s\) относится к постоянной силе; для переменной силы требуется интегрирование по координате.
- Алгебраическая работа сохраняет знак силы. Замена \(F\) на \(|F|\) отвечает уже другой задаче.
