Разобьём \([a,b]\) на \(n\) равных частей длины \(h=\frac{(b-a)}{n}\) и обозначим середины этих частей \(x_{k-\frac{1}{2}}=a+(k-\frac{1}{2})h\). Составная формула центральных прямоугольников имеет вид
Если \(f\in C^{2}[a,b]\) и \(K_{2}=\max _{[a,b]}|f''(x)|\), то ошибка удовлетворяет оценке \(|\int _{a}^{b} f-M_{n}|\le \frac{(b-a)h^{2}K_{2}}{24}=\frac{(b-a)^{3}K_{2}}{(24n^{2})}\). Поэтому метод имеет второй порядок: при удвоении \(n\) оценка ошибки уменьшается примерно в четыре
Что важно запомнить
- Узел на каждом подотрезке берётся в его середине.
- При равномерном разбиении \(h=\frac{(b-a)}{n}\).
- Формула: \(M_{n}=h\sum f(a+(k-\frac{1}{2})h)\).
- Для оценки через вторую производную требуется \(f\in C^{2}[a,b]\).
- Ошибка не превосходит \((b-a)h^{2} \max \frac{|f''|}{24}\).
- Эквивалентная оценка равна \((b-a)^{3} \max \frac{|f''|}{(24n^{2})}\).
- Метод точен для линейных функций и имеет порядок \(O(h^{2})\).
Составная формула центральных прямоугольников
Пусть \(x_{k}=a+kh\), где \(h=\frac{(b-a)}{n}\). На каждом \([x_{k-1},x_{k}]\) заменяем функцию значением в середине
\[m_{k}=\frac{(x_{k-1}+x_{k})}{2}=a+(k-\frac{1}{2})h\].
Тогда
\[M_{n}=h\sum _{k=1}^{n} f(m_{k})\]
служит приближением к
Оценка ошибки
Если \(f\in C^{2}[a,b]\), то на одном подотрезке ошибка центрального прямоугольника имеет порядок \(h^{3}\). Поскольку \(n=\frac{(b-a)}{h}\), суммирование \(n\) локальных ошибок \(O(h^{3})\) даёт глобальный порядок \(O(h^{2})\). Более точно,
\[|I-M_{n}|\le \frac{(b-a)h^{2}K_{2}}{24}\],
где \(K_{2}=\max _{[a,b]}|f''(x)|\). Поскольку \(h=\frac{(b-a)}{n}\),
Таким образом, уменьшение шага в два раза уменьшает гарантированную оценку ошибки в четыре раза. Формула центральных прямоугольников точна для многочленов степени не выше \(1\).
Пример простыми словами
Для \(\int _{0}^{1}x^{2}dx\) при \(n=2\) имеем \(h=\frac{1}{2}\) и середины \(\frac{1}{4}, \frac{3}{4}\). Получаем \(M_{2}=(\frac{1}{2})[(\frac{1}{4})^{2}+(\frac{3}{4})^{2}]=\frac{5}{16}\). Точное значение равно \(\frac{1}{3}\), поэтому ошибка \(\frac{1}{48}\). Здесь \(\max |f''|=2\), и оценка \(\frac{(1^{3}\cdot 2)}{(24\cdot 2^{2})}=\frac{1}{48}\) оказывается точной.
Частые ошибки
- В формуле центральных прямоугольников узлами служат середины подотрезков, а не их левые или правые концы.
- Множитель \(h\) перед суммой является частью квадратурной формулы.
- Оценка через \(\max |f''|\) требует существования и ограниченности второй производной на \([a,b]\).
- Локальная ошибка на одном участке имеет порядок \(O(h^{3})\), тогда как суммарная ошибка составной формулы имеет порядок \(O(h^{2})\).
- Большое \(n\) само по себе не превращает приближённое значение в точное; погрешность нужно оценивать.
