Интеграл Курцвейля—Хенстока заменяет постоянную мелкость разбиения функцией масштаба \(\delta (x)\gt 0\). Размеченное разбиение \(\{([x_{k-1},x_{k}],\xi _{k})\}\) называется \(\delta \)-мелким, если каждый отрезок содержится в \((\xi _{k}-\delta (\xi _{k}),\xi _{k}+\delta (\xi _{k}))\). Функция \(f\) интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку с интегралом \(I\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует масштаб \(\delta \) такой, что любая \(\delta \)-мелкая сумма отличается от \(I\) менее чем на
Критерий Коши требует, чтобы любые две достаточно мелкие относительно одного масштаба суммы отличались менее чем на \(\varepsilon \). Интеграл линеен, аддитивен по отрезкам и расширяет интеграл Римана. Главное усиление формулы Ньютона—Лейбница: всякая производная \(F'\) интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку и
Что важно запомнить
- Масштаб \(\delta \) зависит от точки, в отличие от постоянного шага в определении Римана.
- \(\delta \)-мелкость проверяется относительно отмеченной точки \(\xi _{k}\) каждого подотрезка.
- Для каждого \(\varepsilon \) выбирается один масштаб \(\delta \), подходящий для всех \(\delta \)-мелких разбиений.
- Критерий Коши сравнивает любые две суммы для одного достаточно строгого масштаба.
- Интеграл Курцвейля—Хенстока линеен и аддитивен.
- Всякая риманово интегрируемая функция интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку с тем же значением.
- Всякая производная интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку, поэтому формула Ньютона—Лейбница действует без требования непрерывности производной.
Масштаб и \(\delta \)-мелкое разбиение
Масштабом на \([a,b]\) называют функцию \(\delta :[a,b]\to (0,\infty )\). Размеченное разбиение состоит из подотрезков \([x_{k-1},x_{k}]\) и отмеченных точек \(\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]\). Оно \(\delta \)-мелкое, если
\[[x_{k-1},x_{k}]\subset (\xi _{k}-\delta (\xi _{k}), \xi _{k}+\delta (\xi _{k}))\]
для каждого \(k\). Лемма о существовании \(\delta \)-мелкого размеченного разбиения гарантирует, что это условие не
Определение интеграла
Функция \(f\) называется интегрируемой по Курцвейлю—Хенстоку на \([a,b]\), если существует \(I\in \mathbb{R}\) такое, что для каждого \(\varepsilon \gt 0\) можно выбрать масштаб \(\delta \), для которого всякое \(\delta \)-мелкое размеченное разбиение \(P\) удовлетворяет
\[|\sum f(\xi _{k})\Delta x_{k}-I|\lt \varepsilon \].
Число \(I\) обозначают \(\int _{a}^{b} f\). Постоянный масштаб является частным случаем, поэтому риманова интегрируемость влечёт интегрируемость по Курцвейлю—Хенстоку с тем же
Критерий Коши и свойства
Функция интегрируема тогда и только тогда, когда для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует масштаб \(\delta \) такой, что суммы по любым двум \(\delta \)-мелким размеченным разбиениям отличаются менее чем на \(\varepsilon \). Интеграл обладает линейностью и аддитивностью по соседним
Формула Ньютона—Лейбница
Если \(F\) дифференцируема на \([a,b]\) и \(f=F'\), то \(f\) интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку и
Это одно из главных преимуществ интеграла: производная может быть разрывной и даже не интегрироваться по Риману, но остаётся интегрируемой по Курцвейлю—Хенстоку.
Пример простыми словами
Рассмотрим \(F(x)=x^{2}\sin (\frac{1}{x^{2}})\) при \(x\ne 0\) и \(F(0)=0\) на \([-1,1]\). Функция дифференцируема, причём \(F'(0)=0\), а при \(x\ne 0\) имеем \(F'(x)=2x \sin (\frac{1}{x^{2}})-\frac{2\cos (\frac{1}{x^{2}})}{x}\). Производная не ограничена около \(0\), поэтому не интегрируема по Риману на \([-1,1]\). Тем не менее \(F'\) интегрируема по Курцвейлю—Хенстоку и
Частые ошибки
- Замена масштаба \(\delta (x)\) одной постоянной возвращает более жёсткую риманову схему и теряет основное преимущество \(KH\)-интеграла.
- \(\delta \)-мелкость каждого подотрезка проверяется относительно его отмеченной точки \(\xi _{k}\).
- В критерии Коши обе сравниваемые суммы строятся для одного и того же выбранного масштаба.
- Формула Ньютона—Лейбница для \(KH\)-интеграла не требует непрерывности производной.
- Интегралы Курцвейля—Хенстока и Лебега являются разными конструкциями, хотя их классы интегрируемых функций частично пересекаются.
