Для функции \(f:[a,b]\to \mathbb{R}\) и разбиения \(P=\{a=x_{0}\lt \ldots \lt x_{n}=b\}\) вариационной суммой называют \(\sum |f(x_{k})-f(x_{k-1})|\). Полная вариация \(V_{a}^{b}(f)\) — супремум этих сумм по всем конечным разбиениям. Если \(V_{a}^{b}(f)\lt \infty \), функция имеет ограниченную
Монотонная функция имеет ограниченную вариацию, причём \(V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|\). Сумма и разность \(BV\)-функций снова имеют ограниченную вариацию. Теорема Жордана: \(f\) имеет ограниченную вариацию тогда и только тогда, когда её можно представить как разность двух неубывающих
Что важно запомнить
- Полная вариация — супремум вариационных сумм по всем конечным разбиениям.
- \(BV\) означает \(V_{a}^{b}(f)\lt \infty \).
- Вариация монотонной функции равна модулю её полного приращения.
- Если \(f,g\in BV\), то \(f\pm g\in BV\) и \(V(f+g)\le V(f)+V(g)\).
- При умножении на число \(V(\alpha f)=|\alpha |V(f)\).
- Произведение двух \(BV\)-функций снова принадлежит \(BV\). Выполняется оценка \(V(fg)\le \lVert f\rVert _{\infty} V(g)+\lVert g\rVert _{\infty} V(f)\).
- Функция вариации \(v(x)=V_{a}^{x}(f)\) не убывает.
- По теореме Жордана \(BV\)-функция является разностью двух неубывающих функций.
- Обратно, разность двух неубывающих функций имеет ограниченную вариацию.
Определение полной вариации
Для конечного разбиения \(P=\{a=x_{0}\lt x_{1}\lt \ldots \lt x_{n}=b\}\) положим
\[V(f,P)=\sum _{k=1}^{n}|f(x_{k})-f(x_{k-1})|\].
Полной вариацией \(f\) на \([a,b]\) называется
\[V_{a}^{b}(f)=\sup _{P} V(f,P)\].
Если этот супремум конечен, \(f\) называют функцией ограниченной
Основные свойства
Если \(f\) монотонна, все её приращения имеют один знак и телескопируются. Поэтому \(V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|\). Для любых \(f,g\in BV\) выполняются
\[V(f+g)\le V(f)+V(g), V(\alpha f)=|\alpha |V(f)\].
Кроме того, \(fg\in BV\) и \(V(fg)\le \lVert f\rVert _{\infty} V(g)+\lVert g\rVert _{\infty} V(f)\). В частности, \(BV[a,b]\) является линейным пространством и замкнуто относительно произведения. Каждая \(BV\)-функция ограничена. Функция \(v(x)=V_{a}^{x}(f)\) не убывает.
Разложение Жордана
Пусть \(v(x)=V_{a}^{x}(f)\). Тогда функции
\[p(x)=\frac{[v(x)+f(x)-f(a)]}{2}\],
\[n(x)=\frac{[v(x)-f(x)+f(a)]}{2}\]
не убывают, и
Следовательно, всякая \(BV\)-функция является разностью двух неубывающих функций. Обратное также верно: если \(f=u-w\) и \(u,w\) не убывают, вариация \(f\) не превосходит суммарных приращений \(u\) и \(w\), поэтому конечна. Это и есть теорема Жордана.
Формулы через \(p\) и \(n\) задают нормированное каноническое разложение. Произвольное представление \(f\) как разности двух неубывающих функций вообще не единственно.
Пример простыми словами
Функция \(f(x)=|x|\) на \([-1,1]\) не монотонна на всём отрезке, но имеет ограниченную вариацию. На \([-1,0]\) она убывает от \(1\) до \(0\), а на \([0,1]\) возрастает от \(0\) до \(1\), поэтому полная вариация равна \(2\).
Частые ошибки
- Равенство \(V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|\) характерно для монотонной функции и неверно в общем случае.
- Одна вариационная сумма даёт лишь нижнюю оценку полной вариации; в определении берётся супремум по всем конечным разбиениям.
- Обычная ограниченность значений не означает ограниченной вариации.
- Представление \(f=u-v\) через две неубывающие функции вообще не единственно; формулы через положительную и отрицательную вариации задают нормированное каноническое разложение.
