Интеграл Римана—Стилтьеса: определение, критерий Коши, свойства, интегрирование по частям и теоремы о среднем

Интеграл Римана—Стилтьеса обобщает интеграл Римана: вместо приращения \(\Delta x\) в сумме используется приращение функции-интегратора \(\alpha \). Для размеченного разбиения рассматривают сумму \(\sum f(\xi _{k})[\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1})]\). При уменьшении диаметра разбиения эти суммы должны стремиться к одному числу \(I\).1 Критерий Коши сравнивает любые две достаточно мелкие суммы. Если \(f\) непрерывна, а \(\alpha \) имеет ограниченную вариацию, интеграл существует. Интегрирование по частям связывает \(\int f d\alpha \) и \(\int \alpha df\), а теоремы о среднем имеют разные условия.1, 2

Что важно запомнить
  • Интегральная сумма имеет вид \(\sum f(\xi _{k})\Delta \alpha _{k}\).
  • При \(\alpha (x)=x\) получаем обычный интеграл Римана.
  • Критерий Коши сравнивает суммы по достаточно мелким разбиениям.
  • Если \(f\) непрерывна, а \(\alpha \) имеет ограниченную вариацию, интеграл Римана—Стилтьеса существует.1
  • Если оба интеграла существуют, то \(\int f d\alpha +\int \alpha df=f(b)\alpha (b)-f(a)\alpha (a)\).2
  • При непрерывной \(f\) и неубывающей \(\alpha \) существует \(c\in [a,b]\) с \(\int f d\alpha =f(c)[\alpha (b)-\alpha (a)]\).2
  • Если \(F\) непрерывна, а \(g\) монотонна, существует \(\xi \in [a,b]\) с \(\int g dF=g(a)[F(\xi )-F(a)]+g(b)[F(b)-F(\xi )]\).2

Определение

Пусть \(P=\{a=x_{0}\lt x_{1}\lt \ldots \lt x_{n}=b\}\) и \(\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]\). Интегральной суммой Римана—Стилтьеса функции \(f\) по функции \(\alpha \) называют

\[\sum _{k=1}^{n} f(\xi _{k})[\alpha (x_{k})-\alpha (x_{k-1})]\].

Если существует число \(I\) такое, что для любого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся \(\delta \gt 0\) и для любого размеченного разбиения с диаметром меньше \(\delta \) модуль разности между этой суммой и \(I\) меньше \(\varepsilon \), то \(f\) интегрируема по \(\alpha \) и \(I=\int _{a}^{b} f d\alpha \). При \(\alpha (x)=x\) определение переходит в интеграл Римана.1

Критерий Коши и существование

Интеграл существует тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) можно выбрать \(\delta \gt 0\) так, чтобы любые две интегральные суммы по размеченным разбиениям диаметра меньше \(\delta \) отличались менее чем на \(\varepsilon \). Важный достаточный результат: если \(f\) непрерывна на \([a,b]\), а \(\alpha \) имеет ограниченную вариацию, то \(\int f d\alpha \) существует.1

Основные свойства

При существовании соответствующих интегралов выполняются линейность по подынтегральной функции и интегратору, а также аддитивность по промежутку. Если оба интеграла существуют, выполняется формула

\[\int _{a}^{b} f d\alpha +\int _{a}^{b} \alpha df=f(b)\alpha (b)-f(a)\alpha (a)\].2

Если \(\alpha \in C^{1}[a,b]\), а \(f\) риманово интегрируема на \([a,b]\), то \(\int f d\alpha =\int f(x)\alpha '(x)dx\).2

Теоремы о среднем

Если \(f\) непрерывна, а \(\alpha \) не убывает, то существует \(c\in [a,b]\) такое, что

\[\int _{a}^{b} f d\alpha =f(c)[\alpha (b)-\alpha (a)]\].2

Вторая теорема о среднем имеет форму Бонне. Если \(F\) непрерывна на \([a,b]\), а \(g\) монотонна, то интеграл \(\int g dF\) существует и найдётся \(\xi \in [a,b]\), для которой

\[\int _{a}^{b} g dF=g(a)[F(\xi )-F(a)]+g(b)[F(b)-F(\xi )]\].2

Пример простыми словами

Если \(\alpha \) имеет скачок величины \(\Delta \alpha (c)=\alpha (c+)-\alpha (c-)\) в точке \(c\), а \(f\) непрерывна в \(c\), то вклад этого скачка в интеграл равен \(f(c)\Delta \alpha (c)\). В частности, единичный скачок даёт вклад \(f(c)\). Так интегратор может сосредоточить конечный вклад интеграла в одной точке.2

Частые ошибки
  • В стилтьесовской сумме используется приращение \(\Delta \alpha _{k}\), а не \(\Delta x_{k}\); подмена этих величин возвращает обычный интеграл Римана.
  • Непрерывность интегратора \(\alpha \) не является обязательной: допустимы функции ограниченной вариации со скачками.
  • Формула интегрирования по частям применяется при существовании соответствующих интегралов.
  • Ограниченная вариация \(\alpha \) значительно сильнее простой ограниченности её значений.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Интеграл Стилтьеса. Теорема Рисса», с. 52–54: суммы Римана—Стилтьеса, определение, ограниченная вариация интегратора и достаточное условие существования.
  2. 2 Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ Том I. Дополнение «Интеграл Стилтьеса», около с. 384–390: определение, свойства, интегрирование по частям и теоремы о среднем для интеграла Римана—Стилтьеса.