Интеграл Курцвейля—Хенстока—Стилтьеса использует ту же сумму \(\sum f(\xi _{k})[g(x_{k})-g(x_{k-1})]\), что и интеграл Римана—Стилтьеса, но мелкость разбиения задаётся не одним числом \(\delta \), а положительной функцией масштаба \(\delta (x)\). Разбиение считается \(\delta \)-мелким, если каждый его отрезок лежит в \(\delta \)-окрестности своей отмеченной
Функция \(f\) интегрируема по \(g\) в этом смысле, если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует масштаб \(\delta \), при котором любая \(\delta \)-мелкая сумма отличается от одного числа \(I\) менее чем на \(\varepsilon \). Интеграл единственен. При существовании соответствующих интегралов выполняются линейность и аддитивность. Он расширяет интеграл
Что важно запомнить
- Сумма имеет вид \(\sum f(\xi _{k})\Delta g_{k}\).
- Масштаб \(\delta \) зависит от точки \(\xi _{k}\).
- \(\delta \)-мелкий отрезок должен быть согласован со своей отмеченной точкой.
- Критерий Коши сравнивает любые две суммы для одного подходящего масштаба.
- При существовании соответствующих интегралов выполняются линейность и аддитивность по отрезкам.
- Интегрируемость по Риману—Стилтьесу влечёт интегрируемость по Курцвейлю—Хенстоку—Стилтьесу с тем же значением.
- При \(g(x)=x\) получается обычный интеграл Курцвейля—Хенстока.
Размеченные разбиения и масштаб
Пусть \(\delta :[a,b]\to (0,\infty )\). Размеченное разбиение \(P\) состоит из отрезков \([x_{k-1},x_{k}]\) и точек \(\xi _{k}\in [x_{k-1},x_{k}]\). Оно называется \(\delta \)-мелким, если
\[[x_{k-1},x_{k}]\subset (\xi _{k}-\delta (\xi _{k}),\xi _{k}+\delta (\xi _{k}))\]
для каждого \(k\). Для функций \(f\) и \(g\) составляют стилтьесовскую сумму
Определение интеграла
Функция \(f\) интегрируема по \(g\) на \([a,b]\) в смысле Курцвейля—Хенстока—Стилтьеса, если существует \(I\) такое, что для каждого \(\varepsilon \gt 0\) найдётся масштаб \(\delta \), для которого всякое \(\delta \)-мелкое размеченное разбиение удовлетворяет
Критерий Коши
Эквивалентно для каждого \(\varepsilon \gt 0\) должен существовать масштаб \(\delta \) такой, что суммы \(S(P_{1})\) и \(S(P_{2})\) по любым двум \(\delta \)-мелким разбиениям отличаются менее чем на \(\varepsilon \). Это условие не содержит заранее неизвестного значения интеграла и потому удобно для доказательств существования.
Основные свойства
Интеграл единственен. При существовании соответствующих интегралов он линеен по \(f\) и по \(g\) и аддитивен по соседним отрезкам. Если \(f\) интегрируема по \(g\) в смысле Римана—Стилтьеса, то она интегрируема и в смысле Курцвейля—Хенстока—Стилтьеса, причём значения совпадают. При \(g(x)=x\) получаем интеграл
Пример простыми словами
Если \(g(x)=x\), приращение \(g(x_{k})-g(x_{k-1})\) совпадает с длиной подотрезка. Поэтому стилтьесовская сумма превращается в \(\sum f(\xi _{k})\Delta x_{k}\), а определение становится обычным gauge-определением интеграла Курцвейля—Хенстока.
Частые ошибки
- Gauge-условие использует функцию масштаба \(\delta (x)\), а не одну постоянную для всего отрезка.
- \(\delta \)-мелкость связывает каждый подотрезок с его отмеченной точкой \(\xi _{k}\).
- Интеграл Курцвейля—Хенстока—Стилтьеса не следует отождествлять с интегралом Римана—Стилтьеса: gauge-условие даёт более гибкую схему разбиений.
- В критерии Коши обе сравниваемые суммы должны соответствовать одному подходящему масштабу.
