Несобственный интеграл первого рода возникает на бесконечном промежутке. Например, \(\int _{a}^{\infty }f(x)dx\) определяется как \(\lim _{R\to \infty }\int _{a}^{R} f(x)dx\). Несобственный интеграл второго рода возникает, когда функция неограничена около конечной точки. Если особенность находится в \(b\), то
Критерий Коши утверждает, что сходимость равносильна малости интеграла по любой достаточно далёкой хвостовой части или по достаточно малому промежутку около особой точки. Если особых точек несколько, интеграл разбивают на отдельные несобственные интегралы и требуют сходимости
Что важно запомнить
- Первый род связан с бесконечным промежутком интегрирования.
- Второй род связан с неограниченностью функции у конечной точки.
- Значение определяется пределом обычных определённых интегралов.
- Особенность внутри промежутка требует разбиения интеграла на две части.
- Сумма существует только тогда, когда каждая из этих частей сходится отдельно.
- Критерий Коши проверяет хвост интеграла, не вычисляя его значение.
Интеграл первого рода
Пусть \(f\) риманово интегрируема на каждом \([a,R]\), где \(R\gt a\). Определяют
\[\int _{a}^{\infty } f(x)dx=\lim _{R\to \infty }\int _{a}^{R} f(x)dx\].
Если предел существует и конечен, интеграл сходится. Аналогично определяются интегралы на \((-\infty ,b]\) и на всей прямой. В последнем случае обычная сходимость требует отдельной сходимости обеих частей после выбора любой конечной точки
Интеграл второго рода
Если \(f\) интегрируема на каждом \([a,c]\subset [a,b)\), но неограничена около \(b\), то
\[\int _{a}^{b} f(x)dx=\lim _{c\to b-}\int _{a}^{c} f(x)dx\].
При особенности во внутренней точке \(c\) интеграл определяют как сумму \(\int _{a}^{c} f+\int _{c}^{b} f\), причём обе части должны сходиться независимо.
Критерий Коши
Для первого рода \(\int _{a}^{\infty }f\) сходится тогда и только тогда, когда для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(A\) такое, что при \(R_{2}\gt R_{1}\gt A\) выполняется
\[|\int _{R_{1}}^{R_{2}}f(x)dx|\lt \varepsilon \].
Для особенности в \(b\) условие имеет вид: для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что при \(b-\delta \lt u\lt v\lt b\) выполняется
Пример простыми словами
Интеграл \(\int _{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}\) сходится, потому что \(\int _{1}^{R}\frac{dx}{x^{2}}=1-\frac{1}{R}\to 1\). Интеграл \(\int _{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x}}\) тоже сходится как интеграл второго рода и равен \(2\).
Частые ошибки
- Бесконечная граница и особая точка входят в определение через предел, а не подставляются в первообразную как обычные числа.
- При внутренней особенности левая и правая части должны сходиться независимо; компенсация двух расходимостей не даёт обычной сходимости.
- На всей прямой также требуется независимая сходимость двух хвостов после разбиения в любой конечной точке.
- Главное значение Коши является отдельным понятием и не заменяет обычную сходимость несобственного интеграла.
