Несобственные интегралы преобразуют через усечённые собственные интегралы. При замене переменной отдельно контролируют условия обычной подстановки и переход новой границы. При интегрировании по частям сначала используют конечную границу. Затем проверяют предел граничного произведения и сходимость полученных
Что важно запомнить
- Любое преобразование сначала проводят на собственном усечённом интеграле.
- После подстановки нужно определить новый предельный переход.
- Нельзя формально подставлять \(\infty \) в \(\varphi \) или первообразную.
- При интегрировании по частям отдельно проверяют предел произведения \(uv\).
- Равенство несобственных интегралов возникает только после корректного предельного перехода.
Замена переменной
Рассмотрим \(\int _{a}^{b} f(x)dx\), где \(b\) может быть бесконечностью или особой точкой. На усечённом промежутке \([a,c]\) применяем обычную замену \(x=\varphi (t)\):
\[\int _{a}^{c} f(x)dx=\int _{\alpha }^{\beta (c)} f(\varphi (t))\varphi '(t)dt\].
После этого переходят к пределу \(c\to b\). Достаточно, например, чтобы на каждом усечённом промежутке замена была гладкой и монотонной, корректно переводила границы, а новая граница имела нужный
Интегрирование по частям
На конечном промежутке \([a,c]\)
\[\int _{a}^{c} u(x)v'(x)dx=u(c)v(c)-u(a)v(a)-\int _{a}^{c} u'(x)v(x)dx\].
Далее \(c\) устремляют к несобственной границе. Если существует конечный предел \(u(c)v(c)\) и один из двух несобственных интегралов сходится, то из формулы на конечном отрезке следует сходимость второго и формула по частям после предельного
Практический порядок
Сначала выбирают усечение, затем выполняют обычное преобразование, после чего отдельно исследуют все возникшие пределы. Такая схема предотвращает формальные действия с бесконечностью и сохраняет условия исходной теоремы.
Пример простыми словами
В интеграле \(\int _{0}^{\infty }2xe^{-x^{2}}dx\) делаем подстановку \(t=x^{2}\) на \([0,R]\). Получаем \(\int _{0}^{R^{2}}e^{-t}dt=1-e^{-R^{2}}\), поэтому при \(R\to \infty \) значение равно \(1\).
Интегрирование по частям удобно видно на \(\int _{1}^{\infty }\frac{(\ln x)}{x^{2}} dx\). На \([1,R]\) берём \(u=\ln x, dv=\frac{dx}{x^{2}}\). Тогда \(\int _{1}^{R}\frac{(\ln x)}{x^{2}} dx=1-\frac{(\ln R+1)}{R}\), и при \(R\to \infty \) получаем \(1\).
Частые ошибки
- Замена переменной и интегрирование по частям сначала выполняются на усечённом собственном интеграле.
- После подстановки необходимо отдельно установить предел новой границы.
- При интегрировании по частям предел граничного произведения \(uv\) проверяется отдельно и не считается нулём без основания.
- Формальное преобразование подынтегрального выражения само по себе не доказывает сходимость полученного несобственного интеграла.
