Главные эталонные интегралы таковы. На бесконечности \(\int _{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{p}}\) сходится тогда и только тогда, когда \(p\gt 1\). У нуля \(\int _{0}^{1}\frac{dx}{x^{p}}\) сходится тогда и только тогда, когда \(p\lt 1\). Эти модели позволяют исследовать положительные функции
Если \(0\le f\le g\) вблизи несобственной границы и \(\int g\) сходится, то \(\int f\) тоже сходится. Если \(0\le g\le f\) и \(\int g\) расходится, то \(\int f\) расходится. Если \(\frac{f}{g}\to L\), где \(0\lt L\lt \infty \), то положительные интегралы \(f\) и \(g\) сходятся или расходятся
Что важно запомнить
- \(\int _{1}^{\infty }x^{-p}dx\) сходится при \(p\gt 1\).
- \(\int _{0}^{1}x^{-p}dx\) сходится при \(p\lt 1\).
- В прямом сравнении учитывается поведение только около несобственной границы.
- Для сходимости достаточно оценить исследуемую функцию сверху сходящимся эталоном.
- Для расходимости достаточно оценить её снизу расходящимся эталоном.
- При \(\frac{f}{g}\to L\in (0,\infty )\) функции дают одинаковый результат по сходимости.
Степенные эталоны
Для \(p\in \mathbb{R}\) выполняются два базовых результата:
\(\int _{1}^{\infty } \frac{dx}{x^{p}}\) сходится \(\Leftrightarrow p\gt 1\),
\(\int _{0}^{1} \frac{dx}{x^{p}}\) сходится
Пограничный случай \(p=1\) в обоих степенных эталонах даёт логарифмическую расходимость.
Прямой признак сравнения
Пусть \(0\le f(x)\le g(x)\) около несобственной границы. Если \(\int g\) сходится, то \(\int f\) сходится. Если \(0\le g(x)\le f(x)\) и \(\int g\) расходится, то \(\int f\) расходится. Значения на любом фиксированном собственном участке не влияют на вопрос о сходимости хвоста.
Предельный признак сравнения
Если \(f,g\ge 0\) и
\(\lim \frac{f(x)}{g(x)}=L\), где \(0\lt L\lt \infty \),
то соответствующие несобственные интегралы сходятся или расходятся одновременно. В частности, асимптотическая эквивалентность \(f\sim g\) позволяет заменить сложную функцию стандартным
Пример простыми словами
Для \(x\ge 1\) имеем \(0\lt \frac{1}{(x^{2}+1)}\le \frac{1}{x^{2}}\). Поскольку \(\int _{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}\) сходится, интеграл \(\int _{1}^{\infty }\frac{dx}{(x^{2}+1)}\) тоже сходится.
Частые ошибки
- Порог степенного эталона различается у бесконечности и у нуля: соответственно \(p\gt 1\) и \(p\lt 1\).
- Прямой и предельный признаки сравнения в этой форме относятся к неотрицательным функциям вблизи несобственной границы.
- Направление неравенства принципиально: для сходимости нужна сходящаяся мажоранта, а для расходимости — расходящаяся миноранта.
- В предельном признаке отношение \(\frac{f}{g}\) не обязано стремиться к \(1\); достаточно любого конечного положительного предела.
