Несобственный интеграл \(\int f\) называется абсолютно сходящимся, если сходится \(\int |f|\). Абсолютная сходимость всегда влечёт сходимость самого интеграла. Если \(\int f\) сходится, а \(\int |f|\) расходится, сходимость называют
Различие особенно важно для знакопеременных и осциллирующих функций. Положительные и отрицательные вклады могут взаимно компенсироваться и обеспечивать обычную сходимость, хотя суммарная величина без учёта знака остаётся
Что важно запомнить
- Абсолютная сходимость означает сходимость интеграла от \(|f|\).
- Абсолютная сходимость гарантирует обычную сходимость.
- Обратное утверждение неверно.
- Условная сходимость означает, что \(\int f\) сходится, а \(\int |f|\) расходится.
- Для неотрицательной \(f\) абсолютная и обычная сходимость совпадают.
- Классический условно сходящийся пример: \(\int _{1}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\).
Абсолютная сходимость
Пусть \(f\) локально интегрируема на рассматриваемом несобственном промежутке. Если
\[\int |f(x)|dx\]
сходится, то говорят, что \(\int f\) сходится абсолютно. Из неравенства \(|\int _{u}^{v} f|\le \int _{u}^{v}|f|\) и критерия Коши следует, что абсолютная сходимость влечёт сходимость
Условная сходимость
Если \(\int f\) имеет конечное значение, но \(\int |f|\) расходится, интеграл называется условно сходящимся. Здесь сходимость достигается за счёт компенсации участков разных знаков.
Почему различие существенно
Для абсолютно сходящегося интеграла хвост мал уже после замены функции модулем. При условной сходимости малость получается только после учёта взаимной компенсации. Поэтому признаки Дирихле и Абеля особенно важны именно для осциллирующих интегралов, где прямое сравнение модулей может дать
Пример простыми словами
Интеграл \(\int _{1}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\) сходится по признаку Дирихле, но \(\int _{1}^{\infty }\frac{|\sin x|}{x} dx\) расходится. Поэтому исходный интеграл сходится условно.
Для контраста, \(\frac{|\sin x|}{x^{2}}\le \frac{1}{x^{2}}\) при \(x\ge 1\), а \(\int _{1}^{\infty }\frac{dx}{x^{2}}\) сходится. Значит, \(\int _{1}^{\infty }\frac{\sin x}{x^{2}} dx\) сходится абсолютно.
Частые ошибки
- Обычная сходимость несобственного интеграла не влечёт абсолютную сходимость.
- Абсолютная сходимость проверяется по \(\int |f|\), а не по величине \(|\int f|\).
- Для знакопеременной функции прямое сравнение без перехода к модулю не является доказательством обычной сходимости; нужны дополнительные аргументы, например признаки Дирихле или Абеля.
