Признак Дирихле исследует интеграл произведения \(f(x)g(x)\). Пусть \(F(x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\) ограничена на \([a,\infty )\), а \(g\) монотонна и стремится к нулю при \(x\to \infty \). Тогда несобственный интеграл \(\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx\)
Смысл признака в том, что колебания \(f\) дают ограниченные накопленные суммы \(F\), а множитель \(g\) постепенно уменьшает их вклад. Аналогичная формулировка действует у конечной особой точки после соответствующей замены предельного
Что важно запомнить
- Нужна ограниченность \(F(x)=\int _{a}^{x} f\).
- Множитель \(g\) должен быть монотонным и стремиться к нулю.
- Сам интеграл \(\int f\) может не сходиться.
- Признак даёт достаточное, а не необходимое условие.
- Типичный пример: \(\int _{1}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\).
Формулировка
Пусть \(f\) и \(g\) локально риманово интегрируемы на \([a,\infty )\). Предположим, что
\[F(x)=\int _{a}^{x} f(t)dt\]
ограничена, а \(g\) монотонна и \(g(x)\to 0\) при \(x\to \infty \). Тогда \(\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx\)
Идея доказательства
Пусть \(|F(x)|\le M\). Для \(A\lt B\) по второй теореме о среднем существует \(\xi \in [A,B]\) такое, что \(\int _{A}^{B}fg=g(A)\int _{A}^{\xi }f+g(B)\int _{\xi }^{B}f\). Если \(|F|\le M\), то \(\int _{u}^{v} f=F(v)-F(u)\), поэтому \(|\int _{u}^{v} f|\le 2M\). Поэтому \(|\int _{A}^{B}fg|\le 2M(|g(A)|+|g(B)|)\), и по критерию Коши интеграл
Роль условий
Ограниченность \(F\) выражает компенсацию колебаний \(f\). Условие \(g\to 0\) уменьшает остаточный вклад, а монотонность позволяет контролировать полное изменение \(g\). Ни одно из этих условий не означает абсолютную сходимость.
Пример простыми словами
Для \(f(x)=\sin x\) имеем \(F(x)=\int _{1}^{x}\sin t dt=\cos 1-\cos x\), поэтому \(F\) ограничена. Функция \(g(x)=\frac{1}{x}\) монотонно убывает к нулю. Следовательно, \(\int _{1}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\) сходится по признаку Дирихле.
Частые ошибки
- Ограниченность \(F(x)=\int _{a}^{x} f\) — именно условие признака. Сходимость \(\int f\) является более сильным требованием и здесь не нужна.
- Условие \(g(x)\to 0\) существенно. Одной монотонности недостаточно.
- Признак Дирихле доказывает обычную сходимость и сам по себе не даёт абсолютной.
