Признак Абеля утверждает: если несобственный интеграл \(\int _{a}^{\infty }f(x)dx\) сходится, а \(g(x)\) монотонна и ограничена на \([a,\infty )\), то \(\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx\) также
Поскольку ограниченная монотонная функция имеет конечный предел \(L\), можно представить \(g=L+(g-L)\). Первая часть даёт \(L\int f\), а для второй применяется признак Дирихле, так как \(g-L\) монотонна и стремится к нулю, а первообразная хвоста \(f\) ограничена вследствие сходимости
Что важно запомнить
- Исходный интеграл \(\int f\) должен сходиться.
- Множитель \(g\) должен быть монотонным и ограниченным.
- Поэтому \(g\) имеет конечный предел.
- Признак Абеля сводится к сходимости исходного интеграла и признаку Дирихле для \(g-L\).
- Условие \(g\to 0\) здесь не требуется.
Формулировка
Пусть \(f\) и \(g\) локально интегрируемы на \([a,\infty )\). Если \(\int _{a}^{\infty }f(x)dx\) сходится, а \(g\) монотонна и ограничена, то
\[\int _{a}^{\infty }f(x)g(x)dx\]
Связь с признаком Дирихле
Из монотонности и ограниченности \(g\) следует существование конечного предела \(L=\lim _{x\to \infty }g(x)\). Запишем
\[f(x)g(x)=Lf(x)+f(x)[g(x)-L]\].
Интеграл от первого слагаемого сходится по условию. Для второго слагаемого функция \(g-L\) монотонна и стремится к нулю. Кроме того, из сходимости \(\int f\) следует ограниченность \(F(x)=\int _{a}^{x} f\). Поэтому применяется признак
Отличие от Дирихле
В признаке Абеля требуется сходимость \(\int f\), зато \(g\) не обязана стремиться к нулю. В признаке Дирихле достаточно ограниченности \(F\), но множитель \(g\) должен стремиться к нулю.
Пример простыми словами
Интеграл \(\int _{1}^{\infty }\frac{\sin x}{x} dx\) сходится. Функция \(g(x)=\arctan x\) монотонна и ограничена. Поэтому \(\int _{1}^{\infty }(\frac{\sin x}{x})\arctan x dx\) сходится по признаку Абеля.
Частые ошибки
- Условие \(g\to 0\) не входит в признак Абеля. Достаточно монотонности и ограниченности.
- Ограниченность самой \(f\) не заменяет сходимость \(\int f\).
- В признаке Абеля сходится \(\int f\). В признаке Дирихле достаточно ограниченности частичного интеграла \(F\).
