Линейные, нормированные, евклидовы и метрические пространства

Линейное пространство задаёт операции сложения векторов и умножения на скаляры. Нормированное пространство дополнительно имеет норму \(\lVert x\rVert \), которая измеряет длину вектора и задаёт метрику \(d(x,y)=\lVert x-y\rVert \). Евклидово пространство имеет скалярное произведение \(\langle x,y\rangle \), а норма в нём определяется как \(\sqrt{\langle x,x\rangle} \).¹

Метрическое пространство требует только множества \(X\) и расстояния \(d\) с аксиомами неотрицательности, тождества неразличимых, симметрии и неравенства треугольника. Поэтому справедлива цепочка: евклидово пространство является нормированным, а нормированное является метрическим. Обратные переходы в общем случае невозможны.¹

Что важно запомнить

Линейное пространство задаёт алгебраические операции с векторами.
Норма удовлетворяет положительной определённости, однородности и неравенству треугольника.
Норма порождает метрику \(d(x,y)=\lVert x-y\rVert \).
Скалярное произведение порождает норму \(\lVert x\rVert =\sqrt{\langle x,x\rangle} \).
Евклидово пространство является линейным пространством со скалярным произведением.
Метрическое пространство не обязано иметь операции сложения или умножения на число.

Линейное пространство

Линейное пространство над \(\mathbb{R}\) состоит из множества векторов с операциями \(x+y\) и \(\alpha x\), удовлетворяющими стандартным аксиомам ассоциативности, коммутативности сложения, существования нуля и противоположного элемента, а также согласованности со скалярами.

Нормированное пространство

Норма \(\lVert x\rVert \) должна удовлетворять условиям \(\lVert x\rVert \ge 0, \lVert x\rVert =0\Leftrightarrow x=0, \lVert \alpha x\rVert =|\alpha |\cdot \lVert x\rVert \) и \(\lVert x+y\rVert \le \lVert x\rVert +\lVert y\rVert \). Она задаёт расстояние

\[d(x,y)=\lVert x-y\rVert \].

Поэтому всякое нормированное пространство автоматически является метрическим.¹

Евклидово пространство

Евклидово пространство является вещественным линейным пространством со скалярным произведением \(\langle x,y\rangle \). Скалярное произведение симметрично, билинейно и положительно определено: \(\langle x,x\rangle \ge 0\), причём \(\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0\). Оно порождает норму

\[\lVert x\rVert =\sqrt{\langle x,x\rangle} \].

В \(\mathbb{R}^{n}\) стандартное скалярное произведение равно \(\sum x_{k}y_{k}\), а соответствующая норма равна \(\sqrt{\sum x_{k}^{2}}\).¹

Метрическое пространство

Метрическое пространство состоит из множества \(X\) и функции \(d:X\times X\to [0,\infty )\), для которой \(d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y, d(x,y)=d(y,x)\) и \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\). Векторная структура здесь не требуется.

Связь понятий

Скалярное произведение порождает норму, а норма порождает метрику. Поэтому евклидово пространство является нормированным, а нормированное метрическим. Но произвольная метрика не обязана происходить из нормы, а произвольная норма не обязана задаваться скалярным произведением.¹

Пример простыми словами

\(\mathbb{R}^{n}\) со стандартным скалярным произведением является евклидовым, нормированным и метрическим пространством одновременно. Множество любых объектов с дискретной метрикой \(d(x,y)=0\) при \(x=y\) и \(d(x,y)=1\) при \(x\ne y\) является метрическим пространством, хотя никакой линейной структуры на нём может не быть.

Частые ошибки

Нормированное, евклидово и метрическое пространство — разные структуры.
Формула \(\lVert x\rVert =\sqrt{\langle x,x\rangle} \) описывает нормы, порождённые скалярным произведением. Произвольная норма может не иметь такого представления.
Метрическое пространство не обязано иметь линейные операции.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г., начальные разделы о R^n, скалярном произведении, норме и метрике, около с. 2–4: определения евклидова, нормированного и метрического пространств и связи между ними.