Неравенства Коши—Буняковского и Минковского

Неравенство Коши—Буняковского—Шварца для \(x,y\in \mathbb{R}^{n}\) имеет вид \(|\sum x_{k}y_{k}|\le (\sum x_{k}^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum y_{k}^{2})^{\frac{1}{2}}\). Равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы.1 Неравенство Минковского для \(p\ge 1\) утверждает \((\sum |x_{k}+y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}\le (\sum |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum |y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}\).2 При \(p=2\) оно превращается в неравенство треугольника для евклидовой нормы.

Что важно запомнить
  • Коши—Буняковский: \(|\sum x_{k}y_{k}|\le (\sum x_{k}^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum y_{k}^{2})^{\frac{1}{2}}\).
  • Равенство в нём эквивалентно линейной зависимости векторов.
  • Минковский для \(p\ge 1: \lVert x+y\rVert _{p}\le \lVert x\rVert _{p}+\lVert y\rVert _{p}\).
  • При \(p=2\) Минковский даёт неравенство треугольника в евклидовом пространстве.
  • Для \(p\gt 1\) стандартное доказательство Минковского использует неравенство Гёльдера.2

Неравенство Коши—Буняковского

Для \(x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\) и \(y=(y_{1},\ldots ,y_{n})\) из \(\mathbb{R}^{n}\)

\[|\sum _{k=1}^{n} x_{k}y_{k}|\le (\sum x_{k}^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum y_{k}^{2})^{\frac{1}{2}}\].

В языке евклидова пространства это \(|\langle x,y\rangle |\le \lVert x\rVert _{2}\lVert y\rVert _{2}\). Если \(y\ne 0\), рассматривают неотрицательную квадратичную функцию \(\varphi (t)=\lVert x-ty\rVert _{2}^{2}\). Раскрывая скобки, получаем \(\varphi (t)=\lVert x\rVert _{2}^{2}-2t\langle x,y\rangle +t^{2}\lVert y\rVert _{2}^{2}\ge 0\) для всех \(t\). Поэтому её дискриминант не положителен: \(4\langle x,y\rangle ^{2}-4\lVert x\rVert _{2}^{2}\lVert y\rVert _{2}^{2}\le 0\), откуда \(|\langle x,y\rangle |\le \lVert x\rVert _{2}\lVert y\rVert _{2}\). Равенство возможно тогда и только тогда, когда \(x-ty=0\) для некоторого \(t\), то есть \(x\) и \(y\) линейно зависимы.1

Неравенство Минковского

Для \(p\ge 1\) и \(x,y\in \mathbb{R}^{n}\)

\[(\sum |x_{k}+y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}\le (\sum |x_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum |y_{k}|^{p})^{\frac{1}{p}}\].

Иными словами, \(\lVert x+y\rVert _{p}\le \lVert x\rVert _{p}+\lVert y\rVert _{p}\). При \(p=1\) утверждение следует из \(|x_{k}+y_{k}|\le |x_{k}|+|y_{k}|\). Пусть \(p\gt 1\) и \(q=\frac{p}{(p-1)}\). По неравенству Гёльдера

\[\sum |x_{k}||x_{k}+y_{k}|^{p-1}\le \lVert x\rVert _{p}(\sum |x_{k}+y_{k}|^{p})^{\frac{(p-1)}{p}}\],

и аналогично для \(y\). Складывая оценки, получаем

\[\sum |x_{k}+y_{k}|^{p}\le (\lVert x\rVert _{p}+\lVert y\rVert _{p})(\sum |x_{k}+y_{k}|^{p})^{\frac{(p-1)}{p}}\].

Если \(x+y\ne 0\), деление на последний множитель даёт неравенство Минковского. Случай \(x+y=0\) очевиден.2

Связь двух неравенств

Коши—Буняковский является частным случаем Гёльдера при \(p=q=2\). Минковский утверждает неравенство треугольника для \(p\)-нормы. При \(p=2\) он совпадает с обычным неравенством треугольника для евклидовой нормы.

Пример простыми словами

Для \(x=(1,2)\) и \(y=(2,4)\) имеем \(\sum x_{k}y_{k}=10, \lVert x\rVert _{2}=\sqrt{5}\) и \(\lVert y\rVert _{2}=2\sqrt{5}\). Поэтому в неравенстве Коши—Буняковского достигается равенство, так как \(y=2x\). Для \(p=2\) неравенство Минковского даёт \(\lVert x+y\rVert _{2}\le \lVert x\rVert _{2}+\lVert y\rVert _{2}\).

Частые ошибки
  • В левой части неравенства Коши—Буняковского нужен модуль.
  • Равенство достигается при линейной зависимости, а не только при \(x=y\).
  • Неравенство Минковского действует для \(p\ge 1\). При \(p\lt 1\) стандартная \(p\)-норма не получается.
  • Гёльдер оценивает сумму произведений, а Минковский — норму суммы.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Начальный раздел о евклидовом пространстве R^n: теорема Коши—Буняковского—Шварца, норма, неравенство треугольника и связь скалярного произведения с нормой.
  2. 2 Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс М.: Издательство МГУ, 1985 г. Дополнение 1 «Некоторые важные неравенства для сумм и интегралов», пункт «Неравенство Минковского для сумм»; используется общая форма Минковского для p≥1 и её связь с неравенством Гёльдера.