Определение
Нормы \(\lVert \cdot \rVert _{a}\) и \(\lVert \cdot \rVert _{b}\) на одном линейном пространстве называются эквивалентными, если найдутся числа \(m,M\gt 0\) такие, что для всех \(x\)
\[m\lVert x\rVert _{a}\le \lVert x\rVert _{b}\le M\lVert x\rVert _{a}\].
Эти оценки означают, что каждая норма контролирует другую с точностью до постоянного множителя.
Теорема для \(\mathbb{R}^{n}\)
На конечномерном пространстве \(\mathbb{R}^{n}\) любые две нормы эквивалентны.1
Один из стандартных способов доказательства таков. Сначала для произвольной нормы \(\lVert \cdot \rVert _{a}\) получают верхнюю оценку \(\lVert x\rVert _{a}\le C\lVert x\rVert _{2}\) через координаты в фиксированном базисе. Для нижней оценки предполагают противное. Тогда существуют \(x_{k}\) с \(\lVert x_{k}\rVert _{2}=1\) и \(\lVert x_{k}\rVert _{a}\to 0\). Из ограниченности последовательности на евклидовой единичной сфере выбирают сходящуюся подпоследовательность \(x_{k_{j}}\to x\). Верхняя оценка для разности даёт \(\lVert x_{k_{j}}-x\rVert _{a}\to 0\). Кроме того, \(\lVert x_{k_{j}}\rVert _{a}\to 0\). По неравенству треугольника \(\lVert x\rVert _{a}\le \lVert x-x_{k_{j}}\rVert _{a}+\lVert x_{k_{j}}\rVert _{a}\to 0\), поэтому \(\lVert x\rVert _{a}=0\). Но \(\lVert x\rVert _{2}=1\), противоречие.1
Следствия
Если \(x_{n}\to x\) по одной норме, то \(x_{n}\to x\) по любой другой норме на \(\mathbb{R}^{n}\). То же верно для фундаментальности последовательностей. Следовательно, открытые и замкнутые множества, непрерывность и полнота не зависят от выбора конкретной нормы в конечномерном пространстве.