Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах

Множество \(U\) в метрическом пространстве открыто, если вместе с каждой своей точкой содержит некоторый открытый шар с центром в этой точке. Множество \(F\) замкнуто, если его дополнение открыто. Эквивалентно \(F\) замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит предел любой сходящейся последовательности своих точек.1

Что важно запомнить
  • Открытость проверяется локально через шары.
  • Замкнутость эквивалентна открытости дополнения.
  • Произвольное объединение открытых множеств открыто.
  • Конечное пересечение открытых множеств открыто.
  • Произвольное пересечение замкнутых множеств замкнуто.
  • Всякая сходящаяся последовательность точек замкнутого множества имеет предел в этом множестве.

Открытые множества

Пусть \((X,\rho )\) — метрическое пространство. Множество \(U\subseteq X\) называется открытым, если для каждого \(a\in U\) существует \(r\gt 0\) такое, что \(B_{r}(a)\subseteq U\). Открытые шары являются открытыми множествами. Произвольное объединение открытых множеств и конечное пересечение открытых множеств снова открыты.1

Замкнутые множества

Множество \(F\subseteq X\) называется замкнутым, если \(X\setminus F\) открыто. Поэтому произвольное пересечение замкнутых множеств и конечное объединение замкнутых множеств замкнуты.

Для метрических пространств важен последовательностный критерий:

\(F\) замкнуто \(\Leftrightarrow \) из \(x_{n}\in F\) и \(x_{n}\to x\) следует \(x\in F\).1

Граница и замыкание

Точка \(x\) является граничной для \(A\), если каждый шар с центром \(x\) содержит точки \(A\) и \(X\setminus A\). Замыкание \(A\) состоит из \(A\) вместе с его предельными точками и является наименьшим замкнутым множеством, содержащим \(A\).

Относительность понятий

Открытость и замкнутость зависят от окружающего пространства. Например, \([0,1]\) не открыто в \(\mathbb{R}\), но является открытым подмножеством самого себя с индуцированной метрикой.

Пример простыми словами

В \(\mathbb{R}\) множество \((0,1)\) открыто и не замкнуто, а \([0,1]\) замкнуто и не открыто. Пустое множество и всё пространство одновременно открыты и замкнуты.

Частые ошибки
  • Открытость определяется метрикой и окружающим пространством, а не видом интервала.
  • Замкнутость не равна ограниченности.
  • Бесконечное пересечение открытых множеств может перестать быть открытым.
  • При обсуждении границы и замыкания нужно фиксировать окружающее пространство \(X\).

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Открытые и замкнутые множества. Компакты»: определения через шары и дополнение, операции с открытыми/замкнутыми множествами, граница и последовательностный критерий замкнутости.