Последовательность \(x_{n}\) в метрическом пространстве \((X,\rho )\) сходится к \(x\), если \(\rho (x_{n},x)\to 0\). Она называется фундаментальной, если для любого \(\varepsilon \gt 0\) начиная с некоторого номера \(\rho (x_{n},x_{m})\lt \varepsilon \) для всех \(n,m\). Пространство полно, если каждая фундаментальная последовательность сходится к точке этого пространства. \(\mathbb{R}^{n}\) с любой нормой
Что важно запомнить
- Сходимость: \(\rho (x_{n},x)\to 0\).
- Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна.
- Обратное верно именно в полном пространстве.
- \(\mathbb{R}^{n}\) полно относительно евклидовой нормы.
- Из эквивалентности норм следует полнота \(\mathbb{R}^{n}\) для любой нормы.
- В \(\mathbb{R}^{n}\) сходимость эквивалентна покоординатной сходимости.
Сходимость последовательности
Последовательность \(\{x_{n}\}\subseteq X\) сходится к \(x\in X\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что \(n\ge N\) влечёт \(\rho (x_{n},x)\lt \varepsilon \). Предел в метрическом пространстве единственен.
Фундаментальные последовательности
Последовательность называется фундаментальной, или последовательностью Коши, если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(N\) такое, что \(n,m\ge N\) влечёт \(\rho (x_{n},x_{m})\lt \varepsilon \). Всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Обратное утверждение может быть неверно, если пространство неполно.
Полнота
Метрическое пространство полно, если каждая фундаментальная последовательность имеет предел в этом пространстве. Полнота принципиальна, например, в теореме Банаха о сжимающем
Пространство \(\mathbb{R}^{n}\)
В евклидовой метрике \(x_{n}=(x_{n}^{1},\ldots ,x_{n}^{n})\) сходится к \(x\) тогда и только тогда, когда каждая координата \(x_{n}^{k}\) сходится к \(x^{k}\). Поэтому фундаментальная последовательность в \(\mathbb{R}^{n}\) является покоординатно фундаментальной. Полнота \(\mathbb{R}\) даёт предел каждой координаты, значит \(\mathbb{R}^{n}\) полно. Поскольку все нормы на \(\mathbb{R}^{n}\) эквивалентны, полнота сохраняется для любой
Пример простыми словами
Последовательность \(x_{n}=(\frac{1}{n},\frac{1}{n^{2}})\) в \(\mathbb{R}^{2}\) сходится к \((0,0)\), потому что обе координаты стремятся к нулю. Следовательно, \(\lVert x_{n}\rVert _{2}\to 0\).
Неполноту удобно увидеть на пространстве \((0,1)\) с обычной метрикой: последовательность \(x_{n}=\frac{1}{n}\) при \(n\ge 2\) фундаментальна, но в \(\mathbb{R}\) стремится к \(0\), а \(0\notin (0,1)\). Поэтому предела внутри этого пространства у неё нет.
Частые ошибки
- Фундаментальность сама по себе не гарантирует сходимость, если пространство неполно.
- В \(\mathbb{R}^{n}\) нужно контролировать все координаты.
- Ограниченность последовательности не равна фундаментальности.
- Предел должен принадлежать самому пространству.
