Принцип сжимающих отображений в полном метрическом пространстве

Если \((X,\rho )\) — полное метрическое пространство и \(F:X\to X\) является сжатием, то есть \(\rho (Fx,Fy)\le \lambda \rho (x,y)\) для некоторого \(0\lt \lambda \lt 1\) и всех \(x,y\), то \(F\) имеет единственную неподвижную точку \(x^{*}\). Для любого \(x_{0}\) итерации \(x_{n+1}=F(x_{n})\) сходятся к \(x^{*}\).1

Что важно запомнить
  • Пространство должно быть полным.
  • \(F\) должно отображать \(X\) в себя.
  • Коэффициент сжатия \(\lambda \) один и тот же для всех \(x,y\) и удовлетворяет \(\lambda \lt 1\).
  • Неподвижная точка существует и единственна.
  • Итерации из любой начальной точки сходятся к ней.
  • Оценка: \(\rho (x_{n},x^{*})\le \frac{\lambda ^{n}\rho (x_{1},x_{0})}{(1-\lambda )}\).

Формулировка теоремы Банаха

Пусть \((X,\rho )\) — полное метрическое пространство и \(F:X\to X\) удовлетворяет

\[\rho (F(x),F(y))\le \lambda \rho (x,y), 0\lt \lambda \lt 1\],

для всех \(x,y\in X\). Тогда существует единственная точка \(x^{*}\in X\) такая, что \(F(x^{*})=x^{*}\).1

Построение неподвижной точки

Берём произвольную \(x_{0}\) и строим \(x_{n+1}=F(x_{n})\). Из свойства сжатия

\[\rho (x_{n+1},x_{n})=\rho (Fx_{n},Fx_{n-1})\le \lambda \rho (x_{n},x_{n-1})\].

Повторяя эту оценку, получаем \(\rho (x_{n+1},x_{n})\le \lambda ^{n}\rho (x_{1},x_{0})\).

По неравенству треугольника для \(n\gt m\)

\[\rho (x_{n},x_{m})\le \frac{\lambda ^{m}\rho (x_{1},x_{0})}{(1-\lambda )}\].

Правая часть стремится к нулю, поэтому \(\{x_{n}\}\) фундаментальна. Полнота \(X\) даёт \(x_{n}\to x^{*}\). Сжатие непрерывно, следовательно \(F(x^{*})=x^{*}\).

Единственность

Если \(x^{*}\) и \(y^{*}\) — две неподвижные точки, то

\[\rho (x^{*},y^{*})=\rho (Fx^{*},Fy^{*})\le \lambda \rho (x^{*},y^{*})\].

Так как \(\lambda \lt 1\), возможно только \(\rho (x^{*},y^{*})=0\), то есть \(x^{*}=y^{*}\).1

Оценка ошибки

Из тех же оценок следует

\[\rho (x_{n},x^{*})\le \frac{\lambda ^{n}\rho (x_{1},x_{0})}{(1-\lambda )}\].

Поэтому теорема не только доказывает существование решения, но и даёт сходящийся итерационный алгоритм.

Пример простыми словами

На \(\mathbb{R}\) возьмём \(F(x)=\frac{(x+2)}{3}\). Здесь \(|F(x)-F(y)|=\frac{|x-y|}{3}\), поэтому \(\lambda =\frac{1}{3}\). Неподвижная точка решает \(x=\frac{(x+2)}{3}\), откуда \(x^{*}=1\). Итерации из любой начальной точки сходятся к \(1\).

Частые ошибки
  • Полнота \(X\) является существенным условием теоремы.
  • Неравенство \(\rho (Fx,Fy)\lt \rho (x,y)\) без единого коэффициента \(\lambda \lt 1\) не является условием теоремы Банаха.
  • Нужно, чтобы \(F(X)\subseteq X\).
  • Теорема утверждает и существование, и единственность неподвижной точки.

Другие вопросы

Источники

  1. 1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Теорема 24 (Банах): сжимающее отображение полного метрического пространства имеет единственную неподвижную точку; доказательство итерациями x_{n+1}=F(x_n).