Пусть \(f:X\setminus \{a\}\to Y\), где \((X,\rho _{X})\) и \((Y,\rho _{Y})\) — метрические пространства, а \(a\) — предельная точка \(X\). Элемент \(b\in Y\) называется пределом \(f\) при \(x\to a\), если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(0\lt \rho _{X}(x,a)\lt \delta \) влечёт \(\rho _{Y}(f(x),b)\lt \varepsilon \). Эквивалентно по Гейне: для любой последовательности \(x_{n}\to a, x_{n}\ne a\), выполняется
Что важно запомнить
- Определения Коши и Гейне эквивалентны.
- В определении предела значение \(f(a)\) не требуется.
- Точка \(a\) должна быть предельной точкой области.
- Предел отображения в метрическом пространстве единственен.
- Для композиции действует обычная теорема о пределе при выполнении условий.
Определение по Коши
Пусть \(f:X\setminus \{a\}\to Y\) и \(a\) — предельная точка \(X\). Говорят, что \(f(x)\to b\) при \(x\to a\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что
\[0\lt \rho _{X}(x,a)\lt \delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x),b)\lt \varepsilon \].
Это определение использует только метрики и поэтому переносит привычное \(\varepsilon \)–\(\delta \) определение на произвольные метрические
Определение по Гейне
Эквивалентно \(b\) является пределом \(f\) в точке \(a\), если для всякой последовательности \(x_{n}\in X\setminus \{a\}\), сходящейся к \(a\), последовательность \(f(x_{n})\) сходится к \(b\). В метрических пространствах определения Коши и Гейне
Основные свойства
Предел единственен. Для отображений в \(\mathbb{R}^{m}\) предел эквивалентен покоординатной сходимости.
Для композиции важно корректно сформулировать условие. Если \(f(x)\to b\) и \(g\) непрерывна в \(b\), то \(g(f(x))\to g(b)\). Если же известно только \(\lim _{y\to b}g(y)=c\) и значение \(g(b)\) не используется, дополнительно достаточно потребовать, чтобы \(f(x)\ne b\) в некоторой проколотой окрестности \(a\). Тогда \(g(f(x))\to c\).
Пример простыми словами
Для \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^{2}\), при \(x\to 2\) имеем \(f(x)\to 4\). По Гейне это означает: если \(x_{n}\to 2\) и \(x_{n}\ne 2\), то \(x_{n}^{2}\to 4\).
Частые ошибки
- Предел при \(x\to a\) не требует существования \(f(a)\).
- По Гейне нужно проверять все последовательности \(x_{n}\to a, x_{n}\ne a\), а не одну выбранную.
- Метрики в \(X\) и \(Y\) могут быть разными.
- Если для внешней функции известен только предел при \(y\to b\), нужно исключить попадание \(f(x)=b\) в соответствующей проколотой окрестности.
