Двойной предел \(\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=L\) требует приближения точки \((x,y)\) к \((a,b)\) по любому пути. Повторные пределы вычисляются последовательно: сначала предел по одной переменной при фиксированной другой, затем предел полученной функции по второй переменной. Равенство двух повторных пределов не гарантирует существование двойного
Что важно запомнить
- Двойной предел контролирует все способы приближения к точке.
- Повторный предел сначала фиксирует одну переменную.
- Порядок повторных пределов может влиять на результат.
- Равные повторные пределы не являются достаточным условием существования двойного предела.
- Если двойной предел существует и нужные внутренние пределы существуют поблизости, повторный предел совпадает с двойным.
Двойной предел
Для функции \(f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}\) равенство
\[\lim _{(x,y)\to (a,b)}f(x,y)=L\]
означает, что для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(0\lt \sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}\lt \delta \) влечёт \(|f(x,y)-L|\lt \varepsilon \). Здесь \((x,y)\) может приближаться к \((a,b)\) по произвольной траектории.
Повторные пределы
Повторными называют, например,
\(\lim _{x\to a}(\lim _{y\to b}f(x,y))\) и \(\lim _{y\to b}(\lim _{x\to a}f(x,y))\),
если соответствующие внутренние и внешние пределы
Связь между ними
Если двойной предел равен \(L\) и, например, внутренний предел \(\lim _{y\to b}f(x,y)\) существует для всех \(x\) из некоторой проколотой окрестности \(a\), то внешний предел этой функции при \(x\to a\) равен \(L\). Аналогично для другого порядка.
Обратное неверно: даже существование и равенство обоих повторных пределов не гарантирует двойного предела. Поэтому при исследовании функции нескольких переменных нельзя заменять совместное приближение последовательным.
Пример простыми словами
Для \(f(x,y)=\frac{xy}{(x^{2}+y^{2})}, f(0,0)\) можно не задавать. При фиксированном \(x\ne 0\) предел по \(y\to 0\) равен \(0\), и затем предел по \(x\to 0\) тоже \(0\). В другом порядке получается тот же результат. Но вдоль \(y=x\) имеем \(f(x,x)=\frac{1}{2}\), поэтому двойного предела при \((x,y)\to (0,0)\) нет.
Частые ошибки
- Равенство двух повторных пределов само по себе не доказывает существование двойного предела.
- Проверка нескольких траекторий может опровергнуть существование предела, но не доказать его для всех путей.
- В повторном пределе сначала должен существовать внутренний предел в требуемой окрестности.
- Порядок \(\lim _{x} \lim _{y}\) и \(\lim _{y} \lim _{x}\) может влиять на результат.
