Отображение \(f:(X,\rho _{X})\to (Y,\rho _{Y})\) непрерывно в точке \(a\), если для любого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что \(\rho _{X}(x,a)\lt \delta \) влечёт \(\rho _{Y}(f(x),f(a))\lt \varepsilon \). Если \(a\) — предельная точка \(X\), это эквивалентно равенству \(\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\). Если \(a\) изолирована, любое отображение автоматически непрерывно в \(a\). Отображение непрерывно на \(X\), если оно непрерывно в каждой
Что важно запомнить
- Основное определение непрерывности в точке — \(\varepsilon \)–\(\delta \).
- Если \(a\) предельная, непрерывность эквивалентна \(\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\).
- В изолированной точке любое отображение непрерывно.
- Последовательностный критерий: \(x_{n}\to a \Rightarrow f(x_{n})\to f(a)\).
- Глобальная непрерывность эквивалентна открытости прообразов открытых множеств.
- Композиция непрерывных отображений непрерывна.
Непрерывность в точке
Отображение \(f:X\to Y\) непрерывно в \(a\in X\), если для каждого \(\varepsilon \gt 0\) существует \(\delta \gt 0\) такое, что
\[\rho _{X}(x,a)\lt \delta \Rightarrow \rho _{Y}(f(x),f(a))\lt \varepsilon \].
Если \(a\) является предельной точкой \(X\), это равносильно равенству \(\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\). Если \(a\) — изолированная точка, то достаточно взять \(\delta \) так, чтобы \(B_{\delta }(a)=\{a\}\). Поэтому любое отображение непрерывно в такой
Последовательностный критерий
В метрических пространствах \(f\) непрерывно в \(a\) тогда и только тогда, когда из \(x_{n}\to a\) следует \(f(x_{n})\to f(a)\). Этот критерий корректно работает и для изолированных точек.
Топологический критерий
Отображение \(f:X\to Y\) непрерывно на \(X\) тогда и только тогда, когда для каждого открытого \(U\subseteq Y\) его прообраз \(f^{-1}(U)\) открыт в \(X\). Эквивалентно можно использовать прообразы замкнутых
Свойства
Композиция непрерывных отображений непрерывна. Ограничение непрерывного отображения на подмножество также непрерывно в индуцированной метрике. Если \(\rho _{Y}(f(x),f(y))\le C\rho _{X}(x,y)\), то \(f\) липшицево и потому непрерывно.
Пример простыми словами
Отображение \(f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}, f(x,y)=x^{2}+y^{2}\), непрерывно. Если \((x_{n},y_{n})\to (x,y)\), то \(x_{n}\to x\) и \(y_{n}\to y\), поэтому \(x_{n}^{2}+y_{n}^{2}\to x^{2}+y^{2}\).
Частые ошибки
- Для глобальной непрерывности проверяют прообразы открытых множеств, а не их образы.
- Непрерывность в одной точке не означает непрерывность на всём пространстве.
- Последовательностный критерий должен выполняться для каждой последовательности \(x_{n}\to a\).
- Формула \(\lim _{x\to a}f(x)=f(a)\) требует, чтобы \(a\) была предельной точкой. В изолированной точке непрерывность автоматическая.
- Непрерывность на произвольном множестве не равна равномерной непрерывности.
