Подмножество \(K\) метрического пространства компактно, если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие. Для компакта в метрическом пространстве верно: \(K\) замкнуто и ограничено, всякое замкнутое подмножество \(K\) компактно, каждое бесконечное подмножество \(K\) имеет предельную точку в \(K\), а из любой последовательности точек \(K\) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке
Что важно запомнить
- Компактность определяется через конечное подпокрытие.
- Компакт в метрическом пространстве замкнут и ограничен.
- Замкнутое подмножество компакта компактно.
- Каждое бесконечное подмножество компакта имеет предельную точку в нём.
- Из любой последовательности в компакте можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке компакта.
- В общем метрическом пространстве замкнутость и ограниченность не гарантируют компактность.
Определение
Множество \(K\) в метрическом пространстве \(X\) называется компактным, если из любого покрытия \(K\) открытыми множествами можно выбрать конечное
Основные свойства
Для компакта \(K\) в метрическом пространстве выполняются следующие утверждения. \(K\) ограничен и замкнут. Всякое замкнутое подмножество \(K\) является компактным. Каждое бесконечное подмножество \(K\) имеет предельную точку, принадлежащую \(K\). Наконец, всякая последовательность \(\{x_{n}\}\subseteq K\) содержит подпоследовательность \(x_{n_{k}}\), сходящуюся к некоторой точке
В метрических пространствах это свойство эквивалентно компактности: \(K\) компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности в \(K\) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке \(K\). Это называют последовательной компактностью.
Почему условие «замкнуто и ограничено» недостаточно в общем случае
В \(\mathbb{R}^{n}\) замкнутость и ограниченность действительно эквивалентны компактности. Но в произвольном метрическом и, в частности, в бесконечномерном нормированном пространстве этого недостаточно. Поэтому критерий Гейне—Бореля нельзя автоматически переносить на любой метрический объект.
Роль последовательностей
Свойство о сходящейся подпоследовательности удобно использовать на практике: если удаётся построить последовательность в \(K\), из которой нельзя выбрать подпоследовательность с пределом в \(K\), то \(K\) не является компактом.
Пример простыми словами
Отрезок \([0,1]\) компактен. Поэтому любая последовательность его точек имеет подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из \([0,1]\). Например, из последовательности \(0,1,0,1,\ldots \) можно выбрать постоянную подпоследовательность \(0,0,0,\ldots \)
Частые ошибки
- Замкнутость и ограниченность не гарантируют компактность в произвольном метрическом пространстве.
- В последовательной компактности предел выбранной подпоследовательности должен принадлежать \(K\).
- Открытое покрытие не является разбиением множества.
- Требуется существование конечного подпокрытия, а не конечность исходного покрытия.
- Свойства непрерывных функций на компакте относятся к отдельному вопросу и не заменяют свойства самого компакта.
