В \(\mathbb{R}^{n}\) действует критерий Гейне—Бореля: множество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Многомерная теорема Больцано—Вейерштрасса утверждает, что из любой ограниченной последовательности в \(\mathbb{R}^{n}\) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Эквивалентно каждое бесконечное ограниченное множество имеет предельную
Что важно запомнить
- В \(\mathbb{R}^{n}\) компактность равносильна замкнутости и ограниченности.
- Ограниченная последовательность не обязана сходиться целиком.
- Но у неё всегда есть сходящаяся подпоследовательность.
- Предел подпоследовательности ограниченной последовательности лежит в \(\mathbb{R}^{n}\).
- Для последовательности внутри замкнутого множества её предел также принадлежит этому множеству.
Критерий компактности в \(\mathbb{R}^{n}\)
Множество \(K\subseteq \mathbb{R}^{n}\) компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и
Достаточность можно увидеть так: ограниченное \(K\) содержится в некотором замкнутом параллелепипеде, который компактен. Если \(K\) замкнуто, то как замкнутое подмножество компакта оно само компактно.
Теорема Больцано—Вейерштрасса
Всякая ограниченная последовательность \(\{x_{k}\}\) в \(\mathbb{R}^{n}\) содержит сходящуюся подпоследовательность. Один из способов доказательства — последовательно выбирать подпоследовательности, у которых сходятся первая, вторая и далее все координаты. После \(n\) шагов остаётся подпоследовательность, сходящаяся покоординатно, а значит и в
Связь с компактностью
Если последовательность лежит в компактном \(K\), то выбранная сходящаяся подпоследовательность имеет предел в \(K\). Для замкнутого и ограниченного \(K\) это следует из критерия Гейне—Бореля.
Эквивалентная формулировка Больцано—Вейерштрасса: всякое бесконечное ограниченное подмножество \(\mathbb{R}^{n}\) имеет предельную точку.
Пример простыми словами
Последовательность \(x_{k}=((-1)^{k},\frac{1}{k})\) в \(\mathbb{R}^{2}\) ограничена, но не сходится. Подпоследовательность с чётными \(k\) сходится к \((1,0)\), а с нечётными — к \((-1,0)\). Это иллюстрирует, почему теорема гарантирует подпоследовательность, а не сходимость всей последовательности.
Частые ошибки
- Теорема Больцано—Вейерштрасса гарантирует сходящуюся подпоследовательность, а не сходимость всей ограниченной последовательности.
- В критерии Гейне—Бореля нужны одновременно замкнутость и ограниченность.
- Критерий «замкнуто и ограничено» нельзя переносить из \(\mathbb{R}^{n}\) на произвольное нормированное пространство.
- Предельная точка произвольного множества не обязана принадлежать этому множеству. Принадлежность обеспечивается замкнутостью.
