Компактность шара в нормированном пространстве и конечномерность пространства

Нормированное пространство \(X\) конечномерно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар компактен. Более того, компактность хотя бы одного замкнутого шара положительного радиуса уже влечёт конечномерность \(X\). В конечномерном пространстве, наоборот, любое замкнутое и ограниченное множество, в частности любой замкнутый шар, компактно.¹

Что важно запомнить

Главный критерий: замкнутый единичный шар компактен \(\Leftrightarrow \) пространство конечномерно.
Достаточно компактности одного замкнутого шара положительного радиуса.
В конечномерном нормированном пространстве все замкнутые ограниченные множества компактны.
В конечномерном пространстве положительной размерности открытый шар не компактен, поскольку не замкнут.

Формулировка критерия

Пусть \(X\) — нормированное пространство. Тогда \(X\) конечномерно тогда и только тогда, когда замкнутый единичный шар \(\{x\in X: \lVert x\rVert \le 1\}\) компактен. Эквивалентно можно потребовать компактность некоторого замкнутого шара положительного радиуса.¹

Почему конечномерность достаточна

Если \(\dim X=n\lt \infty \), то после выбора базиса \(X\) линейно изоморфно \(\mathbb{R}^{n}\). Все нормы на конечномерном пространстве эквивалентны, поэтому замкнутость и ограниченность сохраняют нужные свойства. По критерию компактности в \(\mathbb{R}^{n}\) всякое замкнутое ограниченное множество компактно. Следовательно, любой замкнутый шар в \(X\) компактен.

Почему компактный шар влечёт конечномерность

Пусть для определённости замкнутый шар \(\overline{B}_{2}(0)\) компактен. Из покрытия этого шара открытыми шарами радиуса \(1\) выбирается конечное подпокрытие с центрами \(a_{1},\ldots ,a_{N}\). Обозначим через \(L\) линейную оболочку этих центров. Пространство \(L\) конечномерно и потому замкнуто.

Для любого \(x\in \overline{B}_{2}(0)\) можно последовательно приближать \(x\) элементами \(L\). На первом шаге \(\lVert x-a_{i_{1}}\rVert \lt 1\). Затем к удвоенному остатку снова применяется конечное покрытие. После \(m\) шагов получается элемент \(y_{m}\in L\) такой, что \(\lVert x-y_{m}\rVert \lt 2^{1-m}\). Значит, \(x\) принадлежит замыканию \(L\), то есть \(L\). Поэтому \(\overline{B}_{2}(0)\subseteq L\). Масштабированием получаем \(X=L\), следовательно \(X\) конечномерно.¹

Открытый и замкнутый шар

Критерий формулируется для замкнутого шара. Если \(\dim X\gt 0\), открытый шар не компактен: он не замкнут, тогда как компактное подмножество метрического пространства замкнуто. Для нульмерного пространства \(X=\{0\}\) это замечание имеет очевидное исключение.

Пример простыми словами

В \(\mathbb{R}^{n}\) замкнутый шар \(\{x: \lVert x\rVert \le 1\}\) компактен. В бесконечномерном пространстве \(C[0,1]\) с равномерной нормой рассмотрим \(f_{n}(t)=t^{n}\). Все эти функции лежат в замкнутом единичном шаре, поскольку \(\lVert f_{n}\rVert _{\infty }=1\). Для каждого \(t\in [0,1)\) имеем \(f_{n}(t)\to 0\), а \(f_{n}(1)=1\), поэтому поточечный предел разрывен. Любая подпоследовательность имеет тот же поточечный предел, тогда как равномерный предел непрерывных функций должен быть непрерывен. Следовательно, у \(\{f_{n}\}\) нет равномерно сходящейся подпоследовательности, и замкнутый единичный шар \(C[0,1]\) не компактен.

Частые ошибки

В критерии нужен замкнутый шар. Открытый шар положительной размерности не компактен.
В бесконечномерном нормированном пространстве замкнутость и ограниченность не обеспечивают компактность.
Для вывода конечномерности достаточно компактности одного замкнутого шара положительного радиуса.
Обратное направление опирается именно на конечномерность пространства.

Другие вопросы

Источники

1 Бегунц А. В., Шапошников С. В. Примерный конспект курса математического анализа Второй семестр. Мехмат МГУ, 2018 г. Раздел «Компакты», Теорема 11: если в нормированном пространстве замкнутый шар положительного радиуса компактен, то пространство конечномерно; вместе с критерием компактности в R^n это даёт эквивалентность для конечномерных пространств.